ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expgt1 Structured version   GIF version

Theorem expgt1 8907
Description: Positive integer exponentiation with a mantissa greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expgt1 ((A 𝑁 1 < A) → 1 < (A𝑁))

Proof of Theorem expgt1
StepHypRef Expression
1 1re 6784 . . 3 1
21a1i 9 . 2 ((A 𝑁 1 < A) → 1 ℝ)
3 simp1 903 . 2 ((A 𝑁 1 < A) → A ℝ)
4 simp2 904 . . . 4 ((A 𝑁 1 < A) → 𝑁 ℕ)
54nnnn0d 7971 . . 3 ((A 𝑁 1 < A) → 𝑁 0)
6 reexpcl 8886 . . 3 ((A 𝑁 0) → (A𝑁) ℝ)
73, 5, 6syl2anc 391 . 2 ((A 𝑁 1 < A) → (A𝑁) ℝ)
8 simp3 905 . 2 ((A 𝑁 1 < A) → 1 < A)
9 nnm1nn0 7959 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → (𝑁 − 1) 0)
104, 9syl 14 . . . . 5 ((A 𝑁 1 < A) → (𝑁 − 1) 0)
11 ltle 6862 . . . . . . 7 ((1 A ℝ) → (1 < A → 1 ≤ A))
121, 3, 11sylancr 393 . . . . . 6 ((A 𝑁 1 < A) → (1 < A → 1 ≤ A))
138, 12mpd 13 . . . . 5 ((A 𝑁 1 < A) → 1 ≤ A)
14 expge1 8906 . . . . 5 ((A (𝑁 − 1) 0 1 ≤ A) → 1 ≤ (A↑(𝑁 − 1)))
153, 10, 13, 14syl3anc 1134 . . . 4 ((A 𝑁 1 < A) → 1 ≤ (A↑(𝑁 − 1)))
16 reexpcl 8886 . . . . . 6 ((A (𝑁 − 1) 0) → (A↑(𝑁 − 1)) ℝ)
173, 10, 16syl2anc 391 . . . . 5 ((A 𝑁 1 < A) → (A↑(𝑁 − 1)) ℝ)
18 0red 6786 . . . . . 6 ((A 𝑁 1 < A) → 0 ℝ)
19 0lt1 6898 . . . . . . 7 0 < 1
2019a1i 9 . . . . . 6 ((A 𝑁 1 < A) → 0 < 1)
2118, 2, 3, 20, 8lttrd 6897 . . . . 5 ((A 𝑁 1 < A) → 0 < A)
22 lemul1 7337 . . . . 5 ((1 (A↑(𝑁 − 1)) (A 0 < A)) → (1 ≤ (A↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · A) ≤ ((A↑(𝑁 − 1)) · A)))
232, 17, 3, 21, 22syl112anc 1138 . . . 4 ((A 𝑁 1 < A) → (1 ≤ (A↑(𝑁 − 1)) ↔ (1 · A) ≤ ((A↑(𝑁 − 1)) · A)))
2415, 23mpbid 135 . . 3 ((A 𝑁 1 < A) → (1 · A) ≤ ((A↑(𝑁 − 1)) · A))
25 recn 6772 . . . . . 6 (A ℝ → A ℂ)
26253ad2ant1 924 . . . . 5 ((A 𝑁 1 < A) → A ℂ)
2726mulid2d 6803 . . . 4 ((A 𝑁 1 < A) → (1 · A) = A)
2827eqcomd 2042 . . 3 ((A 𝑁 1 < A) → A = (1 · A))
29 expm1t 8897 . . . 4 ((A 𝑁 ℕ) → (A𝑁) = ((A↑(𝑁 − 1)) · A))
3026, 4, 29syl2anc 391 . . 3 ((A 𝑁 1 < A) → (A𝑁) = ((A↑(𝑁 − 1)) · A))
3124, 28, 303brtr4d 3785 . 2 ((A 𝑁 1 < A) → A ≤ (A𝑁))
322, 3, 7, 8, 31ltletrd 7176 1 ((A 𝑁 1 < A) → 1 < (A𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   · cmul 6676   < clt 6817  cle 6818  cmin 6939  cn 7655  0cn0 7917  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869
This theorem is referenced by:  ltexp2a  8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator