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Theorem cauappcvgprlemladdrl 6629
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6630. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  F : Q. --> Q.
cauappcvgpr.app  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
cauappcvgpr.bnd  p  Q.  <Q  F `  p
cauappcvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
cauappcvgprlemladd.s  S  Q.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  C_  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , p    L, p, q   , p, q    F, l,, p, q    S, l, q,, p
Allowed substitution hints:   (, l)   (, q, l)    L(, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables  h  r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . 6  l  r 
l  +Q  q  r  +Q  q
21breq1d 3765 . . . . 5  l  r  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
32rexbidv 2321 . . . 4  l  r  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
4 nqex 6347 . . . . . 6  Q.  _V
54rabex 3892 . . . . 5  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S }  _V
64rabex 3892 . . . . 5  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  _V
75, 6op1st 5715 . . . 4  1st `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  {
l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S }
83, 7elrab2 2694 . . 3  r  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  r  Q.  q  Q. 
r  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  F : Q. --> Q.
109ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F : Q. --> Q.
1110ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  Q.
12 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  q  Q.
13 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  b  Q.  q  +Q  b  Q.
1412, 13sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  q  +Q  b  Q.
15 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14  F `  b  Q. 
q  +Q  b  Q.  F `  b  +Q  q  +Q  b 
Q.
1611, 14, 15syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `
 b  +Q  q  +Q  b  Q.
1710adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F : Q. --> Q.
18 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  q  Q.
1917, 18ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . 13  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  q  Q.
20 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . . 14  <Q  Or  Q.
21 so2nr 4049 . . . . . . . . . . . . . 14 
<Q  Or  Q.  F `  b  +Q  q  +Q  b 
Q.  F `  q  Q.  F `  b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `  q  F `  q  <Q  F `
 b  +Q  q  +Q  b
2220, 21mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13  F `  b  +Q 
q  +Q  b  Q.  F `  q  Q.  F `
 b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `
 q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
q  +Q  b
2316, 19, 22syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `  q  F `  q  <Q  F `
 b  +Q  q  +Q  b
24 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  F `  b  Q.  b  Q.  F `  b  +Q  b 
Q.
2511, 24sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `
 b  +Q  b  Q.
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  S  Q.
2726ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  S  Q.
2827adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  S  Q.
29 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F `  b  +Q  b  Q.  q  Q.  S 
Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S
3025, 18, 28, 29syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S
3130breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  <Q  F `  q  +Q  S
32 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
3332adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q. 
Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
34 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F `  b  +Q  b  Q.  q  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  Q.
3525, 18, 34syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  Q.
36 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Q.  Q.  +Q  +Q
3736adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q. 
Q.  Q.  +Q  +Q
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  <Q  F `
 q  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  <Q  F `  q  +Q  S
39 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  S  Q.  q  Q.  S  +Q  q  q  +Q  S
4028, 18, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  S  +Q  q 
q  +Q  S
4140oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S
4241breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  q  +Q  S  <Q  F `  q  +Q  S
4331, 38, 423bitr4rd 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  q  <Q  F `
 q
44 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  b  Q.
45 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F `  b  Q.  b  Q.  q 
Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  F `  b  +Q  b  +Q  q
4611, 44, 18, 45syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  F `  b  +Q  b  +Q  q
47 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  b  Q.  q  Q.  b  +Q  q  q  +Q  b
4844, 18, 47syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  b  +Q  q  q  +Q  b
4948oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `
 b  +Q  b  +Q  q  F `  b  +Q  q  +Q  b
5046, 49eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  F `  b  +Q  q  +Q  b
5150breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  q  <Q  F `
 q  F `  b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `  q
5243, 51bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `  q
5352biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q  q  +Q  b  <Q  F `  q
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
5554ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
56 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  p  b  F `  p  F `  b
57 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  p  b  p  +Q  q  b  +Q  q
5857oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  p  b  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  +Q 
b  +Q  q
5956, 58breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  p  b  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  b  <Q  F `
 q  +Q  b  +Q  q
6056, 57oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  p  b  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
6160breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  p  b  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 b  +Q  b  +Q  q
6259, 61anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  p  b  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `
 b  <Q  F `  q  +Q  b  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
6362ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  p  b  q  Q.  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  q 
Q.  F `
 b  <Q  F `  q  +Q  b  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
6463rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  b  Q.  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q  q  Q.  F `  b 
<Q  F `  q  +Q 
b  +Q  q  F `
 q  <Q  F `  b  +Q  b  +Q  q
6555, 64mpan9 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  q 
Q.  F `
 b  <Q  F `  q  +Q  b  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
66 rsp 2363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  F `  b 
<Q  F `  q  +Q 
b  +Q  q  F `
 q  <Q  F `  b  +Q  b  +Q  q  q  Q.  F `  b  <Q  F `  q  +Q  b  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
6765, 18, 66sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `
 b  <Q  F `  q  +Q  b  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  b  +Q 
b  +Q  q
6867simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  q  <Q  F `  b  +Q  b  +Q  q
6968, 49breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . 13  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  q  <Q  F `  b  +Q  q  +Q  b
7053, 69jctird 300 . . . . . . . . . . . 12  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  b  +Q 
q  +Q  b  <Q  F `  q  F `  q  <Q  F `  b  +Q 
q  +Q  b
7123, 70mtod 588 . . . . . . . . . . 11  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
7271nrexdv 2406 . . . . . . . . . 10  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  b 
Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
7372intnand 839 . . . . . . . . 9  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `  q  +Q  S 
Q.  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
74 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  b  q  F `  b  F `  q
75 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  b  q  p  +Q  b  p  +Q  q
7674, 75oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  b  q  F `  b  +Q  p  +Q  b  F `  q  +Q  p  +Q  q
7776breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  b  q  F `  p 
<Q  F `  b  +Q  p  +Q  b  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q
7875oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  b  q  F `  p  +Q  p  +Q  b  F `  p  +Q  p  +Q  q
7974, 78breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  b  q  F `  b 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  b  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
8077, 79anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  b  q  F `  p  <Q  F `
 b  +Q  p  +Q  b  F `  b  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  b  F `
 p  <Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q
8180cbvralv 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  b  Q.  F `  p 
<Q  F `  b  +Q  p  +Q  b  F `  b  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  b  q  Q.  F `
 p  <Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q
8281ralbii 2324 . . . . . . . . . . . . 13  p  Q.  b  Q.  F `
 p  <Q  F `  b  +Q  p  +Q  b  F `  b 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  b  p 
Q.  q  Q.  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q
8355, 82sylibr 137 . . . . . . . . . . . 12  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  p  Q.  b  Q.  F `  p 
<Q  F `  b  +Q  p  +Q  b  F `  b  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  b
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  p  Q.  <Q  F `  p
8584ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  p  Q.  <Q  F `  p
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
87 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  b 
l  +Q  q  l  +Q  b
88 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  b  F `  q  F `  b
8987, 88breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  b  l  +Q  q  <Q  F `  q  l  +Q  b  <Q  F `  b
9089cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  l  Q.  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b
9291rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q }  {
l  Q.  |  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b }
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  b  q  b
9488, 93oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  b  F `  q  +Q  q  F `  b  +Q  b
9594breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  b  F `  q  +Q  q  <Q  F `  b  +Q  b  <Q
9695cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  b  Q.  F `  b  +Q  b  <Q
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  b  Q.  F `  b  +Q  b  <Q
9897rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  }  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  <Q  }
9992, 98opeq12i 3545 . . . . . . . . . . . . 13  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `
 q  +Q  q  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `
 b  +Q  b  <Q  } >.
10086, 99eqtri 2057 . . . . . . . . . . . 12  L 
<. { l  Q.  |  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  <Q  } >.
101 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . 13  S  Q.  q  Q.  S  +Q  q  Q.
10227, 12, 101syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  S  +Q  q  Q.
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 6626 . . . . . . . . . . 11  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  C_  2nd `  <. { l  Q.  |  b  Q. 
l  +Q  b 
<Q  F `  b  +Q  S  +Q  q } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  } >.
104103sseld 2938 . . . . . . . . . 10  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `
 q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
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 b  +Q  S  +Q  q } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  } >.
105 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12  F `
 q  +Q  S  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `
 b  +Q  b  +Q  S  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S
106105rexbidv 2321 . . . . . . . . . . 11  F `
 q  +Q  S  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
1074rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12  { l  Q.  |  b  Q. 
l  +Q  b 
<Q  F `  b  +Q  S  +Q  q }  _V
1084rabex 3892 . . . . . . . . . . . 12  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  }  _V
109107, 108op2nd 5716 . . . . . . . . . . 11  2nd `  <. { l 
Q.  |  b  Q.  l  +Q  b  <Q  F `  b  +Q  S  +Q  q } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  } >.  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  }
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 b  +Q  S  +Q  q } ,  {  Q.  |  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  } >.  F `  q  +Q  S 
Q.  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
111104, 110syl6ib 150 . . . . . . . . 9  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  F `
 q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
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Q.  b  Q.  F `  b  +Q  b  +Q  S  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S
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 q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 6625 . . . . . . . . . . 11  L  P.
114113ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  L  P.
115 nqprlu 6530 . . . . . . . . . . 11  S  +Q  q  Q.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. 
P.
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117 addclpr 6520 . . . . . . . . . 10  L  P.  <. { l  |  l 
<Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. 
P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  P.
118114, 116, 117syl2anc 391 . . . . . . . . 9  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  P.
119 prop 6458 . . . . . . . . . 10  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q 
<Q  } >.  P.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. >.  P.
120 prloc 6474 . . . . . . . . . 10 
<. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >. >. 
P.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  +Q  q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  F `  q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.
121119, 120sylan 267 . . . . . . . . 9  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  P. 
r  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S  r  +Q  q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  F `  q  +Q  S  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.
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124 simpllr 486 . . . . . . . 8  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  Q.
125114, 27, 124, 12cauappcvgprlemcan 6616 . . . . . . 7  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  +Q  q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S  +Q  q } ,  {  |  S  +Q  q  <Q  } >.  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
126123, 125mpbid 135 . . . . . 6  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
127126ex 108 . . . . 5  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
128127rexlimdva 2427 . . . 4  r  Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
129128expimpd 345 . . 3  r 
Q.  q  Q.  r  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
1308, 129syl5bi 141 . 2  r  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  r  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
131130ssrdv 2945 1  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  C_  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    Or wor 4023   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6630
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