ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemladd Unicode version

Theorem cauappcvgprlemladd 6630
Description: Lemma for cauappcvgpr 6634. This takes  L and offsets it by the positive fraction  S. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  F : Q. --> Q.
cauappcvgpr.app  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
cauappcvgpr.bnd  p  Q.  <Q  F `  p
cauappcvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
cauappcvgprlemladd.s  S  Q.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladd  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , p    L, p, q   , p, q    F, l,, p, q    S, l, q,, p
Allowed substitution hints:   (, l)   (, q, l)    L(, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladd
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.f . . . 4  F : Q. --> Q.
2 cauappcvgpr.app . . . 4  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
3 cauappcvgpr.bnd . . . 4  p  Q.  <Q  F `  p
4 cauappcvgpr.lim . . . 4  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
5 cauappcvgprlemladd.s . . . 4  S  Q.
61, 2, 3, 4, 5cauappcvgprlemladdfl 6627 . . 3  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  C_  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
71, 2, 3, 4, 5cauappcvgprlemladdrl 6629 . . 3  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  C_  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
86, 7eqssd 2956 . 2  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  1st ` 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
91, 2, 3, 4, 5cauappcvgprlemladdfu 6626 . . 3  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  C_  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
101, 2, 3, 4, 5cauappcvgprlemladdru 6628 . . 3  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  C_  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
119, 10eqssd 2956 . 2  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  2nd ` 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
121, 2, 3, 4cauappcvgprlemcl 6625 . . . 4  L  P.
13 nqprlu 6530 . . . . 5  S  Q.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.
145, 13syl 14 . . . 4  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.
15 addclpr 6520 . . . 4  L  P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.
1612, 14, 15syl2anc 391 . . 3  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.
17 npsspw 6454 . . . . . . 7  P.  C_  ~P Q.  X.  ~P Q.
1817sseli 2935 . . . . . 6  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
19 1st2nd2 5743 . . . . . 6  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. >.
2018, 19syl 14 . . . . 5  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. >.
21 ssrab2 3019 . . . . . . . 8  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S }  C_  Q.
22 nqex 6347 . . . . . . . . 9  Q.  _V
2322elpw2 3902 . . . . . . . 8  {
l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S }  ~P Q.  { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S }  C_ 
Q.
2421, 23mpbir 134 . . . . . . 7  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S }  ~P Q.
25 ssrab2 3019 . . . . . . . 8  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  C_ 
Q.
2622elpw2 3902 . . . . . . . 8  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  ~P Q.  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  C_ 
Q.
2725, 26mpbir 134 . . . . . . 7  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  ~P Q.
28 opelxpi 4319 . . . . . . 7  { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S }  ~P Q.  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  ~P Q.  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
2924, 27, 28mp2an 402 . . . . . 6  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.
30 1st2nd2 5743 . . . . . 6  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  <. 1st `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. >.
3129, 30mp1i 10 . . . . 5  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  <. 1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. >.
3220, 31eqeq12d 2051 . . . 4  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. >.  <. 1st `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. >.
33 xp1st 5734 . . . . . 6  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. 
~P Q.
3418, 33syl 14 . . . . 5  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.
35 xp2nd 5735 . . . . . 6  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  X.  ~P Q.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. 
~P Q.
3618, 35syl 14 . . . . 5  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.
37 opthg 3966 . . . . 5  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  ~P Q.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. >.  <. 1st `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. >.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
3834, 36, 37syl2anc 391 . . . 4  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  <. 1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. ,  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >. >.  <. 1st `  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. ,  2nd `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >. >.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  1st ` 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
3932, 38bitrd 177 . . 3  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
4016, 39syl 14 . 2  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
418, 11, 40mpbir2and 850 1  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlem1  6631
  Copyright terms: Public domain W3C validator