Theorem ffvelrnd 5303

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelrnd.1	|- ( ph -> F : A --> B )
ffvelrnd.2	|- ( ph -> C e. A )

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnd	|- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		ffvelrnd.1	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
3	2	ffvelrnda 5302	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )
4	1, 3	mpdan 398	1 |- ( ph -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   -->wf 4898   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  isotr  5456  caofinvl  5733  phplem4dom  6324  fidceq  6330  dif1en  6337  fin0  6342  fin0or  6343  ordiso2  6357  cauappcvgprlemm  6743  cauappcvgprlemdisj  6749  cauappcvgprlemloc  6750  cauappcvgprlemladdfu  6752  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  cauappcvgprlem1  6757  cauappcvgprlem2  6758  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprlem1  6777  caucvgprlem2  6778  caucvgprprlemnkltj  6787  caucvgprprlemnkeqj  6788  caucvgprprlemnbj  6791  caucvgprprlemmu  6793  caucvgprprlemopl  6795  caucvgprprlemloc  6801  caucvgprprlemexbt  6804  caucvgprprlemexb  6805  caucvgprprlemaddq  6806  caucvgprprlem1  6807  caucvgprprlem2  6808  caucvgsrlemcau  6877  caucvgsrlemgt1  6879  caucvgsrlemoffcau  6882  caucvgsrlemoffres  6884  caucvgsr  6886  axcaucvglemval  6971  axcaucvglemcau  6972  axcaucvglemres  6973  fseq1p1m1  8956  4fvwrd4  8997  fvinim0ffz  9096  caucvgrelemcau  9579  caucvgre  9580  cvg1nlemf  9582  cvg1nlemcau  9583  cvg1nlemres  9584  recvguniqlem  9592  resqrexlemdecn  9610  resqrexlemcalc3  9614  resqrexlemnmsq  9615  resqrexlemnm  9616  resqrexlemcvg  9617  resqrexlemoverl  9619  resqrexlemglsq  9620  resqrexlemga  9621  clim2iser  9857  clim2iser2  9858  climrecvg1n  9867  climcvg1nlem  9868  serif0  9871  nn0seqcvgd  9880  ialgrlem1st  9881