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Theorem cauappcvgprlem1 6631
Description: Lemma for cauappcvgpr 6634. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  F : Q. --> Q.
cauappcvgpr.app  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
cauappcvgpr.bnd  p  Q.  <Q  F `  p
cauappcvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
cauappcvgprlem.q  Q  Q.
cauappcvgprlem.r  R  Q.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlem1  <. { l  |  l  <Q  F `  Q } ,  {  |  F `  Q  <Q  } >.  <P  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , p    L, p, q   , p, q    F, p, q, l,    Q, p, q, l,    R, p, q, l,
Allowed substitution hints:   (, l)   (, q, l)    L(, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgprlem.r . . . . 5  R  Q.
2 halfnqq 6393 . . . . 5  R  Q.  Q.  +Q  R
31, 2syl 14 . . . 4  Q.  +Q  R
4 simprl 483 . . . . 5 
Q.  +Q  R  Q.
5 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . 11  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
65adantr 261 . . . . . . . . . 10 
Q.  +Q  R  p  Q.  q 
Q.  F `
 p  <Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q
7 cauappcvgprlem.q . . . . . . . . . . . 12  Q  Q.
87adantr 261 . . . . . . . . . . 11 
Q.  +Q  R  Q 
Q.
9 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . 14  p  Q  F `  p  F `  Q
10 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . 15  p  Q  p  +Q  q  Q  +Q  q
1110oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14  p  Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  +Q  Q  +Q  q
129, 11breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13  p  Q  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  Q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  q
139, 10oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14  p  Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  Q  +Q  Q  +Q  q
1413breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  p  Q  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 Q  +Q  Q  +Q  q
1512, 14anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  p  Q  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `
 Q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  Q  +Q  Q  +Q  q
16 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  F `  q  F `
17 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q  +Q  q  Q  +Q
1816, 17oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14  q  F `  q  +Q  Q  +Q  q  F `  +Q  Q  +Q
1918breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  q  F `  Q 
<Q  F `  q  +Q  Q  +Q  q  F `  Q  <Q  F `
 +Q  Q  +Q
2017oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14  q  F `  Q  +Q  Q  +Q  q  F `  Q  +Q  Q  +Q
2116, 20breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13  q  F `  q 
<Q  F `  Q  +Q  Q  +Q  q  F `  <Q  F `
 Q  +Q  Q  +Q
2219, 21anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  q  F `  Q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `  Q  +Q  Q  +Q  q  F `
 Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q  F `  <Q  F `  Q  +Q  Q  +Q
2315, 22rspc2v 2656 . . . . . . . . . . 11  Q  Q.  Q.  p 
Q.  q  Q.  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  Q 
<Q  F `  +Q  Q  +Q  F `  <Q  F `
 Q  +Q  Q  +Q
248, 4, 23syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 
Q.  +Q  R  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q  F `  Q 
<Q  F `  +Q  Q  +Q  F `  <Q  F `
 Q  +Q  Q  +Q
256, 24mpd 13 . . . . . . . . 9 
Q.  +Q  R  F `  Q 
<Q  F `  +Q  Q  +Q  F `  <Q  F `
 Q  +Q  Q  +Q
2625simpld 105 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  F `  Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q
27 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  F : Q. --> Q.
2827adantr 261 . . . . . . . . . 10 
Q.  +Q  R  F : Q.
--> Q.
2928, 4ffvelrnd 5246 . . . . . . . . 9 
Q.  +Q  R  F `  Q.
30 addassnqg 6366 . . . . . . . . 9  F `  Q.  Q  Q. 
Q.  F `  +Q  Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q
3129, 8, 4, 30syl3anc 1134 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q
3226, 31breqtrrd 3781 . . . . . . 7 
Q.  +Q  R  F `  Q  <Q  F `
 +Q  Q  +Q
33 ltanqg 6384 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
3433adantl 262 . . . . . . . 8  Q.  +Q  R  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
3527, 7ffvelrnd 5246 . . . . . . . . 9  F `  Q  Q.
3635adantr 261 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  F `  Q  Q.
37 addclnq 6359 . . . . . . . . . 10  F `  Q.  Q  Q.  F `  +Q  Q 
Q.
3829, 8, 37syl2anc 391 . . . . . . . . 9 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q 
Q.
39 addclnq 6359 . . . . . . . . 9  F `  +Q  Q  Q.  Q.  F `  +Q  Q  +Q  Q.
4038, 4, 39syl2anc 391 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  Q.
41 addcomnqg 6365 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  +Q  +Q
4241adantl 262 . . . . . . . 8  Q.  +Q  R  Q.  Q.  +Q  +Q
4334, 36, 40, 4, 42caovord2d 5612 . . . . . . 7 
Q.  +Q  R  F `  Q 
<Q  F `
 +Q  Q  +Q  F `  Q  +Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q  +Q
4432, 43mpbid 135 . . . . . 6 
Q.  +Q  R  F `  Q  +Q  <Q  F `
 +Q  Q  +Q  +Q
45 addassnqg 6366 . . . . . . . 8  F `  +Q  Q  Q.  Q. 
Q.  F `  +Q  Q  +Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q  +Q
4638, 4, 4, 45syl3anc 1134 . . . . . . 7 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q  +Q
47 simprr 484 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  +Q  R
4847oveq2d 5471 . . . . . . 7 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q  R
491adantr 261 . . . . . . . 8 
Q.  +Q  R  R 
Q.
50 addassnqg 6366 . . . . . . . 8  F `  Q.  Q  Q.  R 
Q.  F `  +Q  Q  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  R
5129, 8, 49, 50syl3anc 1134 . . . . . . 7 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  R
5246, 48, 513eqtrd 2073 . . . . . 6 
Q.  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  +Q  F `  +Q  Q  +Q  R
5344, 52breqtrd 3779 . . . . 5 
Q.  +Q  R  F `  Q  +Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q  R
54 oveq2 5463 . . . . . . 7  q  F `  Q  +Q  q  F `  Q  +Q
5516oveq1d 5470 . . . . . . 7  q  F `  q  +Q  Q  +Q  R  F `  +Q  Q  +Q  R
5654, 55breq12d 3768 . . . . . 6  q  F `  Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R  F `  Q  +Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q  R
5756rspcev 2650 . . . . 5  Q.  F `  Q  +Q  <Q  F `  +Q  Q  +Q  R  q  Q.  F `  Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
584, 53, 57syl2anc 391 . . . 4 
Q.  +Q  R  q  Q.  F `
 Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
593, 58rexlimddv 2431 . . 3  q  Q.  F `  Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
60 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . 8  p  Q.  <Q  F `  p
61 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
62 addclnq 6359 . . . . . . . . 9  Q  Q.  R  Q.  Q  +Q  R  Q.
637, 1, 62syl2anc 391 . . . . . . . 8  Q  +Q  R  Q.
6427, 5, 60, 61, 63cauappcvgprlemladd 6630 . . . . . . 7  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q  +Q  R  <Q  } >.
6564fveq2d 5125 . . . . . 6  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  R } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q  +Q  R  <Q  } >.
66 nqex 6347 . . . . . . . 8  Q.  _V
6766rabex 3892 . . . . . . 7  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R }  _V
6866rabex 3892 . . . . . . 7  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q  +Q  R  <Q  }  _V
6967, 68op1st 5715 . . . . . 6  1st `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q  +Q  R  <Q  } >.  {
l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  R }
7065, 69syl6eq 2085 . . . . 5  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  R }
7170eleq2d 2104 . . . 4  F `  Q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  F `  Q  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R }
72 oveq1 5462 . . . . . . . 8  l  F `  Q 
l  +Q  q  F `
 Q  +Q  q
7372breq1d 3765 . . . . . . 7  l  F `  Q  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  R  F `  Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
7473rexbidv 2321 . . . . . 6  l  F `  Q  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  Q  +Q  R  q  Q.  F `
 Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
7574elrab3 2693 . . . . 5  F `  Q  Q.  F `  Q  { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R }  q  Q.  F `  Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
7635, 75syl 14 . . . 4  F `  Q  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R }  q 
Q.  F `
 Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
7771, 76bitrd 177 . . 3  F `  Q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  q 
Q.  F `
 Q  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  Q  +Q  R
7859, 77mpbird 156 . 2  F `  Q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.
7927, 5, 60, 61cauappcvgprlemcl 6625 . . . 4  L  P.
80 nqprlu 6530 . . . . 5  Q  +Q  R  Q.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >. 
P.
8163, 80syl 14 . . . 4  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  P.
82 addclpr 6520 . . . 4  L  P.  <. { l  |  l 
<Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >. 
P.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  P.
8379, 81, 82syl2anc 391 . . 3  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  P.
84 nqprl 6533 . . 3  F `  Q  Q.  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  P.  F `
 Q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  <. { l  |  l  <Q  F `  Q } ,  {  |  F `  Q  <Q  } >.  <P  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R 
<Q  } >.
8535, 83, 84syl2anc 391 . 2  F `  Q  1st `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.  <. { l  |  l  <Q  F `  Q } ,  {  |  F `  Q  <Q  } >.  <P  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.
8678, 85mpbid 135 1  <. { l  |  l  <Q  F `  Q } ,  {  |  F `  Q  <Q  } >.  <P  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  Q  +Q  R } ,  {  |  Q  +Q  R  <Q  } >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304   <.cop 3370   class class class wbr 3755   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277    <P cltp 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  6633
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