ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mullocprlem Unicode version

Theorem mullocprlem 6551
Description: Calculations for mullocpr 6552. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullocprlem.ab  P.  P.
mullocprlem.uqedu  U  .Q  Q  <Q  E  .Q  D  .Q  U
mullocprlem.edutdu  E  .Q  D  .Q  U 
<Q  T  .Q  D  .Q  U
mullocprlem.tdudr  T  .Q  D  .Q  U 
<Q  D  .Q  R
mullocprlem.qr  Q  Q.  R  Q.
mullocprlem.duq  D  Q.  U  Q.
mullocprlem.du  D  1st `  U  2nd `
mullocprlem.et  E  Q.  T  Q.
Assertion
Ref Expression
mullocprlem  Q  1st ` 
.P.  R  2nd `  .P.

Proof of Theorem mullocprlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mullocprlem.uqedu . . . . . . 7  U  .Q  Q  <Q  E  .Q  D  .Q  U
2 mullocprlem.et . . . . . . . . 9  E  Q.  T  Q.
32simpld 105 . . . . . . . 8  E  Q.
4 mullocprlem.duq . . . . . . . . 9  D  Q.  U  Q.
54simpld 105 . . . . . . . 8  D  Q.
64simprd 107 . . . . . . . 8  U  Q.
7 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  .Q  .Q
87adantl 262 . . . . . . . 8 
Q.  Q.  .Q  .Q
9 mulassnqg 6368 . . . . . . . . 9  Q.  Q.  Q.  .Q  .Q  .Q  .Q
109adantl 262 . . . . . . . 8 
Q.  Q.  Q.  .Q  .Q  .Q  .Q
113, 5, 6, 8, 10caov13d 5626 . . . . . . 7  E  .Q  D  .Q  U  U  .Q  D  .Q  E
121, 11breqtrd 3779 . . . . . 6  U  .Q  Q  <Q  U  .Q  D  .Q  E
13 mullocprlem.qr . . . . . . . 8  Q  Q.  R  Q.
1413simpld 105 . . . . . . 7  Q  Q.
15 mulclnq 6360 . . . . . . . 8  D  Q.  E  Q.  D  .Q  E  Q.
165, 3, 15syl2anc 391 . . . . . . 7  D  .Q  E  Q.
17 ltmnqg 6385 . . . . . . 7  Q  Q.  D  .Q  E  Q.  U  Q.  Q  <Q  D  .Q  E  U  .Q  Q  <Q  U  .Q  D  .Q  E
1814, 16, 6, 17syl3anc 1134 . . . . . 6  Q  <Q  D  .Q  E  U  .Q  Q  <Q  U  .Q  D  .Q  E
1912, 18mpbird 156 . . . . 5  Q  <Q  D  .Q  E
2019adantr 261 . . . 4  E  1st `  Q  <Q  D  .Q  E
21 mullocprlem.ab . . . . . . . 8  P.  P.
2221simpld 105 . . . . . . 7  P.
23 mullocprlem.du . . . . . . . 8  D  1st `  U  2nd `
2423simpld 105 . . . . . . 7  D  1st `
2522, 24jca 290 . . . . . 6  P.  D  1st `
2625adantr 261 . . . . 5  E  1st `  P.  D  1st `
2721simprd 107 . . . . . 6  P.
2827anim1i 323 . . . . 5  E  1st `  P.  E  1st `
2914adantr 261 . . . . 5  E  1st `  Q 
Q.
30 mulnqprl 6549 . . . . 5  P.  D  1st `  P.  E  1st `  Q  Q.  Q  <Q  D  .Q  E  Q  1st `  .P.
3126, 28, 29, 30syl21anc 1133 . . . 4  E  1st `  Q 
<Q  D  .Q  E  Q  1st ` 
.P.
3220, 31mpd 13 . . 3  E  1st `  Q  1st `  .P.
3332orcd 651 . 2  E  1st `  Q  1st `  .P.  R  2nd ` 
.P.
342simprd 107 . . . . . . 7  T  Q.
35 mulcomnqg 6367 . . . . . . 7  T  Q.  U  Q.  T  .Q  U  U  .Q  T
3634, 6, 35syl2anc 391 . . . . . 6  T  .Q  U  U  .Q  T
37 mullocprlem.tdudr . . . . . . 7  T  .Q  D  .Q  U 
<Q  D  .Q  R
38 mulclnq 6360 . . . . . . . . . 10  T  Q.  U  Q.  T  .Q  U  Q.
3934, 6, 38syl2anc 391 . . . . . . . . 9  T  .Q  U  Q.
4013simprd 107 . . . . . . . . 9  R  Q.
41 ltmnqg 6385 . . . . . . . . 9  T  .Q  U  Q.  R  Q.  D 
Q.  T  .Q  U  <Q  R  D  .Q  T  .Q  U  <Q  D  .Q  R
4239, 40, 5, 41syl3anc 1134 . . . . . . . 8  T  .Q  U  <Q  R  D  .Q  T  .Q  U  <Q  D  .Q  R
4334, 5, 6, 8, 10caov12d 5624 . . . . . . . . 9  T  .Q  D  .Q  U  D  .Q  T  .Q  U
4443breq1d 3765 . . . . . . . 8  T  .Q  D  .Q  U  <Q  D  .Q  R  D  .Q  T  .Q  U  <Q  D  .Q  R
4542, 44bitr4d 180 . . . . . . 7  T  .Q  U  <Q  R  T  .Q  D  .Q  U  <Q  D  .Q  R
4637, 45mpbird 156 . . . . . 6  T  .Q  U  <Q  R
4736, 46eqbrtrrd 3777 . . . . 5  U  .Q  T  <Q  R
4847adantr 261 . . . 4  T  2nd `  U  .Q  T  <Q  R
4923simprd 107 . . . . . . 7  U  2nd `
5022, 49jca 290 . . . . . 6  P.  U  2nd `
5150adantr 261 . . . . 5  T  2nd `  P.  U  2nd `
5227anim1i 323 . . . . 5  T  2nd `  P.  T  2nd `
5340adantr 261 . . . . 5  T  2nd `  R 
Q.
54 mulnqpru 6550 . . . . 5  P.  U  2nd `  P.  T  2nd `  R  Q.  U  .Q  T  <Q  R  R  2nd `  .P.
5551, 52, 53, 54syl21anc 1133 . . . 4  T  2nd `  U  .Q  T 
<Q  R  R  2nd `  .P.
5648, 55mpd 13 . . 3  T  2nd `  R  2nd `  .P.
5756olcd 652 . 2  T  2nd `  Q  1st `  .P.  R  2nd ` 
.P.
58 mullocprlem.edutdu . . . 4  E  .Q  D  .Q  U 
<Q  T  .Q  D  .Q  U
59 mulclnq 6360 . . . . . . 7  D  Q.  U  Q.  D  .Q  U  Q.
604, 59syl 14 . . . . . 6  D  .Q  U  Q.
61 ltmnqg 6385 . . . . . 6  E  Q.  T  Q.  D  .Q  U 
Q.  E  <Q  T  D  .Q  U  .Q  E  <Q  D  .Q  U  .Q  T
623, 34, 60, 61syl3anc 1134 . . . . 5  E  <Q  T  D  .Q  U  .Q  E  <Q  D  .Q  U  .Q  T
63 mulcomnqg 6367 . . . . . . 7  D  .Q  U  Q.  E  Q.  D  .Q  U  .Q  E  E  .Q  D  .Q  U
6460, 3, 63syl2anc 391 . . . . . 6  D  .Q  U  .Q  E  E  .Q  D  .Q  U
65 mulcomnqg 6367 . . . . . . 7  D  .Q  U  Q.  T  Q.  D  .Q  U  .Q  T  T  .Q  D  .Q  U
6660, 34, 65syl2anc 391 . . . . . 6  D  .Q  U  .Q  T  T  .Q  D  .Q  U
6764, 66breq12d 3768 . . . . 5  D  .Q  U  .Q  E  <Q  D  .Q  U  .Q  T  E  .Q  D  .Q  U  <Q  T  .Q  D  .Q  U
6862, 67bitrd 177 . . . 4  E  <Q  T  E  .Q  D  .Q  U  <Q  T  .Q  D  .Q  U
6958, 68mpbird 156 . . 3  E  <Q  T
70 prop 6458 . . . 4  P.  <. 1st `  ,  2nd `  >.  P.
71 prloc 6474 . . . 4 
<. 1st `  ,  2nd `  >.  P.  E  <Q  T  E  1st `  T  2nd `
7270, 71sylan 267 . . 3  P.  E  <Q  T  E  1st `  T  2nd `
7327, 69, 72syl2anc 391 . 2  E  1st `  T  2nd `
7433, 57, 73mpjaodan 710 1  Q  1st ` 
.P.  R  2nd `  .P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    .Q cmq 6267    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    .P. cmp 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6449  df-imp 6452
This theorem is referenced by:  mullocpr  6552
  Copyright terms: Public domain W3C validator