Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnqprl Unicode version

Theorem mulnqprl 6666
 Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnqprl

Proof of Theorem mulnqprl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltmnqg 6499 . . . . . . 7
21adantl 262 . . . . . 6
3 simpr 103 . . . . . 6
4 prop 6573 . . . . . . . . 9
5 elprnql 6579 . . . . . . . . 9
64, 5sylan 267 . . . . . . . 8
76ad2antrr 457 . . . . . . 7
8 prop 6573 . . . . . . . . 9
9 elprnql 6579 . . . . . . . . 9
108, 9sylan 267 . . . . . . . 8
1110ad2antlr 458 . . . . . . 7
12 mulclnq 6474 . . . . . . 7
137, 11, 12syl2anc 391 . . . . . 6
14 recclnq 6490 . . . . . . 7
1511, 14syl 14 . . . . . 6
16 mulcomnqg 6481 . . . . . . 7
1716adantl 262 . . . . . 6
182, 3, 13, 15, 17caovord2d 5670 . . . . 5
19 mulassnqg 6482 . . . . . . . 8
207, 11, 15, 19syl3anc 1135 . . . . . . 7
21 recidnq 6491 . . . . . . . . 9
2221oveq2d 5528 . . . . . . . 8
2311, 22syl 14 . . . . . . 7
24 mulidnq 6487 . . . . . . . 8
257, 24syl 14 . . . . . . 7
2620, 23, 253eqtrd 2076 . . . . . 6
2726breq2d 3776 . . . . 5
2818, 27bitrd 177 . . . 4
29 prcdnql 6582 . . . . . 6
304, 29sylan 267 . . . . 5
3130ad2antrr 457 . . . 4
3228, 31sylbid 139 . . 3
33 df-imp 6567 . . . . . . . . 9
34 mulclnq 6474 . . . . . . . . 9
3533, 34genpprecll 6612 . . . . . . . 8
3635exp4b 349 . . . . . . 7
3736com34 77 . . . . . 6
3837imp32 244 . . . . 5
3938adantlr 446 . . . 4
4132, 40syld 40 . 2
42 mulassnqg 6482 . . . . 5
433, 15, 11, 42syl3anc 1135 . . . 4
44 mulcomnqg 6481 . . . . . . 7
4515, 11, 44syl2anc 391 . . . . . 6
4611, 21syl 14 . . . . . 6
4745, 46eqtrd 2072 . . . . 5
4847oveq2d 5528 . . . 4
49 mulidnq 6487 . . . . 5
5049adantl 262 . . . 4
5143, 48, 503eqtrd 2076 . . 3
5251eleq1d 2106 . 2
5341, 52sylibd 138 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  c1st 5765  c2nd 5766  cnq 6378  c1q 6379   cmq 6381  crq 6382   cltq 6383  cnp 6389   cmp 6392 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564  df-imp 6567 This theorem is referenced by:  mullocprlem  6668  mulclpr  6670
 Copyright terms: Public domain W3C validator