Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Wrap > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qdencn Unicode version

Theorem qdencn 10124
 Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 9798 (and also would hold for with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q
Assertion
Ref Expression
qdencn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4
21recld 9538 . . 3
3 simpr 103 . . . 4
43rphalfcld 8635 . . 3
5 qdenre 9798 . . 3
62, 4, 5syl2anc 391 . 2
7 simpll 481 . . . . 5
87imcld 9539 . . . 4
94adantr 261 . . . 4
10 qdenre 9798 . . . 4
118, 9, 10syl2anc 391 . . 3
12 qcn 8569 . . . . . . . 8
1312ad2antrl 459 . . . . . . 7
1413adantr 261 . . . . . 6
15 ax-icn 6979 . . . . . . . 8
1615a1i 9 . . . . . . 7
17 qcn 8569 . . . . . . . 8
1817ad2antrl 459 . . . . . . 7
1916, 18mulcld 7047 . . . . . 6
2014, 19addcld 7046 . . . . 5
21 qre 8560 . . . . . . . . . 10
2221ad2antrl 459 . . . . . . . . 9
2322adantr 261 . . . . . . . 8
24 qre 8560 . . . . . . . . 9
2524ad2antrl 459 . . . . . . . 8
2623, 25crred 9576 . . . . . . 7
27 simplrl 487 . . . . . . 7
2826, 27eqeltrd 2114 . . . . . 6
2923, 25crimd 9577 . . . . . . 7
30 simprl 483 . . . . . . 7
3129, 30eqeltrd 2114 . . . . . 6
3228, 31jca 290 . . . . 5
33 fveq2 5178 . . . . . . . 8
3433eleq1d 2106 . . . . . . 7
35 fveq2 5178 . . . . . . . 8
3635eleq1d 2106 . . . . . . 7
3734, 36anbi12d 442 . . . . . 6
38 qdencn.q . . . . . 6
3937, 38elrab2 2700 . . . . 5
4020, 32, 39sylanbrc 394 . . . 4
417adantr 261 . . . . . . 7
4220, 41subcld 7322 . . . . . 6
4342abscld 9777 . . . . 5
442ad2antrr 457 . . . . . . . . 9
4544recnd 7054 . . . . . . . 8
4614, 45subcld 7322 . . . . . . 7
4746abscld 9777 . . . . . 6
488adantr 261 . . . . . . . . 9
4948recnd 7054 . . . . . . . 8
5018, 49subcld 7322 . . . . . . 7
5150abscld 9777 . . . . . 6
5247, 51readdcld 7055 . . . . 5
533ad2antrr 457 . . . . . 6
5453rpred 8622 . . . . 5
551replimd 9541 . . . . . . . . . . 11
5655oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10
5756ad2antrr 457 . . . . . . . . 9
5816, 49mulcld 7047 . . . . . . . . . 10
5914, 19, 45, 58addsub4d 7369 . . . . . . . . 9
6057, 59eqtrd 2072 . . . . . . . 8
6160fveq2d 5182 . . . . . . 7
6219, 58subcld 7322 . . . . . . . 8
6346, 62abstrid 9792 . . . . . . 7
6461, 63eqbrtrd 3784 . . . . . 6
6516, 50absmuld 9790 . . . . . . . 8
6616, 18, 49subdid 7411 . . . . . . . . 9
6766fveq2d 5182 . . . . . . . 8
68 absi 9657 . . . . . . . . . 10
6968oveq1i 5522 . . . . . . . . 9
7051recnd 7054 . . . . . . . . . 10
7170mulid2d 7045 . . . . . . . . 9
7269, 71syl5eq 2084 . . . . . . . 8
7365, 67, 723eqtr3d 2080 . . . . . . 7
7473oveq2d 5528 . . . . . 6
7564, 74breqtrd 3788 . . . . 5
76 simplrr 488 . . . . . 6
77 simprr 484 . . . . . 6
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 8172 . . . . 5
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 7139 . . . 4
80 oveq1 5519 . . . . . . 7
8180fveq2d 5182 . . . . . 6
8281breq1d 3774 . . . . 5
8382rspcev 2656 . . . 4
8440, 79, 83syl2anc 391 . . 3
8511, 84rexlimddv 2437 . 2
866, 85rexlimddv 2437 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1243   wcel 1393  wrex 2307  crab 2310   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6887  cr 6888  c1 6890  ci 6891   caddc 6892   cmul 6894   clt 7060   cle 7061   cmin 7182   cdiv 7651  c2 7964  cq 8554  crp 8583  cre 9440  cim 9441  cabs 9595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-q 8555  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator