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Theorem fidifsnen 6331
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 3898 . . . . . 6 |- ( X e. Fin -> ( X \ { A } ) e. _V )
213ad2ant1 925 . . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
32adantr 261 . . . 4 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
4 enrefg 6244 . . . 4 |- ( ( X \ { A } ) e. _V -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
53, 4syl 14 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { A } ) )
6 sneq 3386 . . . . 5 |- ( A = B -> { A } = { B } )
76difeq2d 3062 . . . 4 |- ( A = B -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
87adantl 262 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) = ( X \ { B } ) )
95, 8breqtrd 3788 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
102adantr 261 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) e. _V )
11 eqid 2040 . . . 4 |- ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) = ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) )
12 iftrue 3336 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , A , x ) = A )
1312adantl 262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
14 simpll2 944 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> A e. X )
1514adantr 261 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> A e. X )
1613, 15eqeltrd 2114 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
17 simpllr 486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. A = B )
1813eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> A = B ) )
1917, 18mtbird 598 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
2019neneqad 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
21 eldifsn 3495 . . . . . 6 |- ( if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) <-> ( if ( x = B , A , x ) e. X /\ if ( x = B , A , x ) =/= B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 394 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
23 iffalse 3339 . . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , A , x ) = x )
2423adantl 262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
25 eldifi 3066 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X \ { A } ) -> x e. X )
2625ad2antlr 458 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. X )
2724, 26eqeltrd 2114 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. X )
28 simpr 103 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. x = B )
2924eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> ( if ( x = B , A , x ) = B <-> x = B ) )
3028, 29mtbird 598 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> -. if ( x = B , A , x ) = B )
3130neneqad 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) =/= B )
3227, 31, 21sylanbrc 394 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) /\ -. x = B ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
33 simpll1 943 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> X e. Fin )
3425adantl 262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> x e. X )
35 simpll3 945 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> B e. X )
36 fidceq 6330 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ x e. X /\ B e. X ) -> DECID x = B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1135 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> DECID x = B )
38 exmiddc 744 . . . . . 6 |- (DECID x = B -> ( x = B \/ -. x = B ) )
3937, 38syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 711 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ x e. ( X \ { A } ) ) -> if ( x = B , A , x ) e. ( X \ { B } ) )
41 iftrue 3336 . . . . . . 7 |- ( y = A -> if ( y = A , B , y ) = B )
4241adantl 262 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
43 simpl3 909 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. X )
44 simpr 103 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> -. A = B )
4544neneqad 2284 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> A =/= B )
4645necomd 2291 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B =/= A )
47 eldifsn 3495 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( X \ { A } ) <-> ( B e. X /\ B =/= A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 394 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> B e. ( X \ { A } ) )
4948ad2antrr 457 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> B e. ( X \ { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2114 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
51 iffalse 3339 . . . . . . 7 |- ( -. y = A -> if ( y = A , B , y ) = y )
5251adantl 262 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
53 eldifi 3066 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( X \ { B } ) -> y e. X )
5453ad2antlr 458 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. X )
55 simpr 103 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> -. y = A )
5655neneqad 2284 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y =/= A )
57 eldifsn 3495 . . . . . . 7 |- ( y e. ( X \ { A } ) <-> ( y e. X /\ y =/= A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 394 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { A } ) )
5952, 58eqeltrd 2114 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
60 simpll1 943 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> X e. Fin )
6153adantl 262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> y e. X )
62 simpll2 944 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> A e. X )
63 fidceq 6330 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ y e. X /\ A e. X ) -> DECID y = A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1135 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> DECID y = A )
65 exmiddc 744 . . . . . 6 |- (DECID y = A -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6664, 65syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 711 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) -> if ( y = A , B , y ) e. ( X \ { A } ) )
6812adantl 262 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> if ( x = B , A , x ) = A )
6968eqeq2d 2051 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = A ) )
7069biimpar 281 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
72 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
7351eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7473ad2antlr 458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = y ) )
7572, 74mpbid 135 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = y )
76 simpllr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> x = B )
7775, 76eqtr3d 2074 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = B )
78 simprr 484 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. ( X \ { B } ) )
7978ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> y e. ( X \ { B } ) )
8079eldifbd 2930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> -. y e. { B } )
8180adantr 261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y e. { B } )
82 velsn 3392 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { B } <-> y = B )
8381, 82sylnib 601 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> -. y = B )
8477, 83pm2.21dd 550 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
8584ex 108 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) /\ -. y = A ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
86 simpll1 943 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> X e. Fin )
8753ad2antll 460 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> y e. X )
88 simpll2 944 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> A e. X )
8986, 87, 88, 63syl3anc 1135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> DECID y = A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9190adantr 261 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
9271, 85, 91mpjaodan 711 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) -> y = if ( x = B , A , x ) ) )
9341eqeq2d 2051 . . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> x = B ) )
9493biimprcd 149 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9594adantl 262 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = A -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9669, 95sylbid 139 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) -> x = if ( y = A , B , y ) ) )
9792, 96impbid 120 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
98 simplr 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
9941adantl 262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = B )
10098, 99eqtrd 2072 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> x = B )
101 simpllr 486 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> -. x = B )
102100, 101pm2.21dd 550 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10323ad3antlr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( x = B , A , x ) = x )
104 simplr 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
10551adantl 262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
106104, 105eqtrd 2072 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> x = y )
107103, 106eqtr2d 2073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) /\ -. y = A ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
10890ad2antrr 457 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> ( y = A \/ -. y = A ) )
109102, 107, 108mpjaodan 711 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ x = if ( y = A , B , y ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
110 simprl 483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> x e. ( X \ { A } ) )
111110eldifbd 2930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x e. { A } )
112 velsn 3392 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
113111, 112sylnib 601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> -. x = A )
114113ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. x = A )
115 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = if ( x = B , A , x ) )
11623eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = B -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
117116ad2antlr 458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = if ( x = B , A , x ) <-> y = x ) )
118115, 117mpbid 135 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> y = x )
119118eqeq1d 2048 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> ( y = A <-> x = A ) )
120114, 119mtbird 598 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> -. y = A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> if ( y = A , B , y ) = y )
122121, 118eqtr2d 2073 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) /\ y = if ( x = B , A , x ) ) -> x = if ( y = A , B , y ) )
123109, 122impbida 528 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12439adantrr 448 . . . . 5 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = B \/ -. x = B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 711 . . . 4 |- ( ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) /\ ( x e. ( X \ { A } ) /\ y e. ( X \ { B } ) ) ) -> ( x = if ( y = A , B , y ) <-> y = if ( x = B , A , x ) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 5705 . . 3 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) )
127 f1oeng 6237 . . 3 |- ( ( ( X \ { A } ) e. _V /\ ( x e. ( X \ { A } ) |-> if ( x = B , A , x ) ) : ( X \ { A } ) -1-1-onto-> ( X \ { B } ) ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
12810, 126, 127syl2anc 391 . 2 |- ( ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -. A = B ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
129 fidceq 6330 . . 3 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> DECID A = B )
130 exmiddc 744 . . 3 |- (DECID A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
131129, 130syl 14 . 2 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 711 1 |- ( ( X e. Fin /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( X \ { A } ) ~~ ( X \ { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629  DECID wdc 742   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   =/= wne 2204   _Vcvv 2557   \ cdif 2914   ifcif 3331   {csn 3375   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   -1-1-onto->wf1o 4901   ~~ cen 6219   Fincfn 6221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-en 6222  df-fin 6224
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