Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Structured version   GIF version

Theorem prarloclemlt 6476
 Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6030 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 𝜔
2 nnacl 5998 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 2𝑜 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
31, 2mpan2 401 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
4 nnaword1 6022 . . . . . . . . . . 11 (((y +𝑜 2𝑜) 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) ⊆ ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
53, 4sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) ⊆ ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6 1onn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15 1𝑜 𝜔
76elexi 2561 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 V
87sucid 4120 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 suc 1𝑜
9 df-2o 5941 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 = suc 1𝑜
108, 9eleqtrri 2110 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 2𝑜
11 nnaordi 6017 . . . . . . . . . . . . 13 ((2𝑜 𝜔 y 𝜔) → (1𝑜 2𝑜 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜)))
121, 11mpan 400 . . . . . . . . . . . 12 (y 𝜔 → (1𝑜 2𝑜 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜)))
1310, 12mpi 15 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜))
1413adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜))
155, 14sseldd 2940 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
1615ancoms 255 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
17 1pi 6299 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 N
18 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . 11 ((y 𝜔 1𝑜 N) → (y +𝑜 1𝑜) N)
1917, 18mpan2 401 . . . . . . . . . 10 (y 𝜔 → (y +𝑜 1𝑜) N)
2019adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) N)
21 o1p1e2 5987 . . . . . . . . . . . . . 14 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) = 2𝑜
22 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 𝜔 1𝑜 N) → (1𝑜 +𝑜 1𝑜) N)
236, 17, 22mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) N
2421, 23eqeltrri 2108 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 N
25 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 𝜔 2𝑜 N) → (y +𝑜 2𝑜) N)
2624, 25mpan2 401 . . . . . . . . . . . 12 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) N)
27 pinn 6293 . . . . . . . . . . . 12 ((y +𝑜 2𝑜) N → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
29 nnacom 6002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 𝜔 (y +𝑜 2𝑜) 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
3028, 29sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
31 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 𝜔 (y +𝑜 2𝑜) N) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) N)
3226, 31sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) N)
3330, 32eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N)
34 ltpiord 6303 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ((y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ↔ (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
3520, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ↔ (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
3616, 35mpbird 156 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
37 mulidpi 6302 . . . . . . . . 9 ((y +𝑜 1𝑜) N → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) = (y +𝑜 1𝑜))
3820, 37syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) = (y +𝑜 1𝑜))
39 mulcompig 6315 . . . . . . . . . 10 ((((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
4033, 17, 39sylancl 392 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
41 mulidpi 6302 . . . . . . . . . 10 (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4340, 42eqtr3d 2071 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4438, 43breq12d 3768 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)) ↔ (y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
4536, 44mpbird 156 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
46 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → y 𝜔)
47 ordpipqqs 6358 . . . . . . . . . 10 ((((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N)) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
4817, 47mpanl2 411 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N)) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
4917, 48mpanr2 414 . . . . . . . 8 (((y +𝑜 1𝑜) N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5019, 49sylan 267 . . . . . . 7 ((y 𝜔 ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5146, 33, 50syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5245, 51mpbird 156 . . . . 5 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
5352adantlr 446 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
54 opelxpi 4319 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
5520, 17, 54sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
56 enqex 6344 . . . . . . . . 9 ~Q V
5756ecelqsi 6096 . . . . . . . 8 (⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
59 df-nqqs 6332 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
6058, 59syl6eleqr 2128 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
6160adantlr 446 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
62 opelxpi 4319 . . . . . . . . 9 ((((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N) → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N))
6333, 17, 62sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N))
6456ecelqsi 6096 . . . . . . . 8 (⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
6665, 59syl6eleqr 2128 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q)
6766adantlr 446 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q)
68 simplr3 947 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 𝑃 Q)
69 ltmnqg 6385 . . . . 5 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )))
7061, 67, 68, 69syl3anc 1134 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )))
7153, 70mpbid 135 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ))
72 mulcomnqg 6367 . . . . 5 ((𝑃 Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7368, 61, 72syl2anc 391 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74 mulcomnqg 6367 . . . . 5 ((𝑃 Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q) → (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7568, 67, 74syl2anc 391 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7673, 75breq12d 3768 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7771, 76mpbid 135 . 2 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78 mulclnq 6360 . . . 4 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
7961, 68, 78syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
80 mulclnq 6360 . . . 4 (([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
8167, 68, 80syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
82 simplr1 945 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
83 simplr2 946 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A 𝐿)
84 elprnql 6464 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) → A Q)
8582, 83, 84syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A Q)
86 ltanqg 6384 . . 3 ((([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q A Q) → (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8779, 81, 85, 86syl3anc 1134 . 2 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8877, 87mpbid 135 1 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  suc csuc 4068  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455  1𝑜c1o 5933  2𝑜c2o 5934   +𝑜 coa 5937  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258
 Copyright terms: Public domain W3C validator