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Theorem prarloclemlt 6333
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 6343. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 5993 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 𝜔
2 nnacl 5962 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 2𝑜 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
31, 2mpan2 401 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
4 nnaword1 5985 . . . . . . . . . . 11 (((y +𝑜 2𝑜) 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) ⊆ ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
53, 4sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 2𝑜) ⊆ ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
6 1onn 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15 1𝑜 𝜔
76elexi 2535 . . . . . . . . . . . . . 14 1𝑜 V
87sucid 4092 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 suc 1𝑜
9 df-2o 5905 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 = suc 1𝑜
108, 9eleqtrri 2086 . . . . . . . . . . . 12 1𝑜 2𝑜
11 nnaordi 5980 . . . . . . . . . . . . 13 ((2𝑜 𝜔 y 𝜔) → (1𝑜 2𝑜 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜)))
121, 11mpan 400 . . . . . . . . . . . 12 (y 𝜔 → (1𝑜 2𝑜 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜)))
1310, 12mpi 15 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜))
1413adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) (y +𝑜 2𝑜))
155, 14sseldd 2914 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 𝑋 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
1615ancoms 255 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
17 1pi 6161 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 N
18 nnppipi 6188 . . . . . . . . . . 11 ((y 𝜔 1𝑜 N) → (y +𝑜 1𝑜) N)
1917, 18mpan2 401 . . . . . . . . . 10 (y 𝜔 → (y +𝑜 1𝑜) N)
2019adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) N)
21 o1p1e2 5951 . . . . . . . . . . . . . 14 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) = 2𝑜
22 nnppipi 6188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1𝑜 𝜔 1𝑜 N) → (1𝑜 +𝑜 1𝑜) N)
236, 17, 22mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (1𝑜 +𝑜 1𝑜) N
2421, 23eqeltrri 2084 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 N
25 nnppipi 6188 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 𝜔 2𝑜 N) → (y +𝑜 2𝑜) N)
2624, 25mpan2 401 . . . . . . . . . . . 12 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) N)
27 pinn 6155 . . . . . . . . . . . 12 ((y +𝑜 2𝑜) N → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 (y 𝜔 → (y +𝑜 2𝑜) 𝜔)
29 nnacom 5966 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 𝜔 (y +𝑜 2𝑜) 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
3028, 29sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
31 nnppipi 6188 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 𝜔 (y +𝑜 2𝑜) N) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) N)
3226, 31sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (𝑋 +𝑜 (y +𝑜 2𝑜)) N)
3330, 32eqeltrrd 2088 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N)
34 ltpiord 6165 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ((y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ↔ (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
3520, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ↔ (y +𝑜 1𝑜) ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
3616, 35mpbird 156 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
37 mulidpi 6164 . . . . . . . . 9 ((y +𝑜 1𝑜) N → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) = (y +𝑜 1𝑜))
3820, 37syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) = (y +𝑜 1𝑜))
39 mulcompig 6177 . . . . . . . . . 10 ((((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
4033, 17, 39sylancl 392 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
41 mulidpi 6164 . . . . . . . . . 10 (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) ·N 1𝑜) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4340, 42eqtr3d 2047 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)) = ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))
4438, 43breq12d 3740 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → (((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)) ↔ (y +𝑜 1𝑜) <N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
4536, 44mpbird 156 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋)))
46 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → y 𝜔)
47 ordpipqqs 6219 . . . . . . . . . 10 ((((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N)) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
4817, 47mpanl2 411 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N (((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N)) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
4917, 48mpanr2 414 . . . . . . . 8 (((y +𝑜 1𝑜) N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5019, 49sylan 267 . . . . . . 7 ((y 𝜔 ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5146, 33, 50syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ ((y +𝑜 1𝑜) ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N ((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋))))
5245, 51mpbird 156 . . . . 5 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
5352adantlr 446 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )
54 opelxpi 4291 . . . . . . . . 9 (((y +𝑜 1𝑜) N 1𝑜 N) → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
5520, 17, 54sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N))
56 enqex 6205 . . . . . . . . 9 ~Q V
5756ecelqsi 6059 . . . . . . . 8 (⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜 (N × N) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
59 df-nqqs 6193 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
6058, 59syl6eleqr 2104 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
6160adantlr 446 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q)
62 opelxpi 4291 . . . . . . . . 9 ((((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋) N 1𝑜 N) → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N))
6333, 17, 62sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → ⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N))
6456ecelqsi 6059 . . . . . . . 8 (⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜 (N × N) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
6665, 59syl6eleqr 2104 . . . . . 6 ((𝑋 𝜔 y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q)
6766adantlr 446 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q)
68 simplr3 930 . . . . 5 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → 𝑃 Q)
69 ltmnqg 6246 . . . . 5 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )))
7061, 67, 68, 69syl3anc 1116 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q )))
7153, 70mpbid 135 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ))
72 mulcomnqg 6228 . . . . 5 ((𝑃 Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7368, 61, 72syl2anc 391 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
74 mulcomnqg 6228 . . . . 5 ((𝑃 Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q) → (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7568, 67, 74syl2anc 391 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) = ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
7673, 75breq12d 3740 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ((𝑃 ·Q [⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ) <Q (𝑃 ·Q [⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ) ↔ ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
7771, 76mpbid 135 . 2 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
78 mulclnq 6221 . . . 4 (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
7961, 68, 78syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
80 mulclnq 6221 . . . 4 (([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q Q 𝑃 Q) → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
8167, 68, 80syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q)
82 simplr1 928 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → ⟨𝐿, 𝑈 P)
83 simplr2 929 . . . 4 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A 𝐿)
84 elprnql 6321 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿) → A Q)
8582, 83, 84syl2anc 391 . . 3 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → A Q)
86 ltanqg 6245 . . 3 ((([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) Q A Q) → (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8779, 81, 85, 86syl3anc 1116 . 2 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) <Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) ↔ (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))))
8877, 87mpbid 135 1 (((𝑋 𝜔 (⟨𝐿, 𝑈 P A 𝐿 𝑃 Q)) y 𝜔) → (A +Q ([⟨(y +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (A +Q ([⟨((y +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  wss 2885  cop 3342   class class class wbr 3727  suc csuc 4040  𝜔com 4228   × cxp 4258  (class class class)co 5424  1𝑜c1o 5897  2𝑜c2o 5898   +𝑜 coa 5901  [cec 6003   / cqs 6004  Ncnpi 6118   ·N cmi 6120   <N clti 6121   ~Q ceq 6125  Qcnq 6126   +Q cplq 6128   ·Q cmq 6129   <Q cltq 6131  Pcnp 6137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-ltnqqs 6198  df-inp 6306
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6336
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