ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj Structured version   GIF version

Theorem prdisj 6340
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj ((⟨𝐿, 𝑈 P A Q) → ¬ (A 𝐿 A 𝑈))

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2078 . . . . 5 (𝑞 = A → (𝑞 QA Q))
21anbi2d 440 . . . 4 (𝑞 = A → ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑞 Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈 P A Q)))
3 eleq1 2078 . . . . . 6 (𝑞 = A → (𝑞 𝐿A 𝐿))
4 eleq1 2078 . . . . . 6 (𝑞 = A → (𝑞 𝑈A 𝑈))
53, 4anbi12d 445 . . . . 5 (𝑞 = A → ((𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ (A 𝐿 A 𝑈)))
65notbid 579 . . . 4 (𝑞 = A → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) ↔ ¬ (A 𝐿 A 𝑈)))
72, 6imbi12d 223 . . 3 (𝑞 = A → (((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈 P A Q) → ¬ (A 𝐿 A 𝑈))))
8 elinp 6322 . . . . 5 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
9 simpr2 897 . . . . 5 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
108, 9sylbi 114 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
1110r19.21bi 2381 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈 P 𝑞 Q) → ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈))
127, 11vtoclg 2586 . 2 (A Q → ((⟨𝐿, 𝑈 P A Q) → ¬ (A 𝐿 A 𝑈)))
1312anabsi7 502 1 ((⟨𝐿, 𝑈 P A Q) → ¬ (A 𝐿 A 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 616   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139  Pcnp 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-qs 6019  df-ni 6158  df-nqqs 6201  df-inp 6314
This theorem is referenced by:  ltpopr  6426  addcanprleml  6445  addcanprlemu  6446
  Copyright terms: Public domain W3C validator