Theorem prarloclem3step 6594

Description: Induction step for prarloclem3 6595. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem3step	⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐿   𝑦,𝑃   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋

Proof of Theorem prarloclem3step

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1421	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q))
2		nfre1 2365	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)
3		prarloclemlo 6592	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
4		prarloclemup 6593	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
5		prarloclemlt 6591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
6		prloc 6589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
7	6	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
8	7	3ad2ant1 925	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
9	8	ad2antlr 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) <Q (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
10	5, 9	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +Q ([⟨(𝑦 +𝑜 1𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝐿 ∨ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
11	3, 4, 10	mpjaod 638	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
12	11	ex 108	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (𝑦 ∈ ω → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))))
13	1, 2, 12	rexlimd 2430	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) → (∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
14	13	imp 115	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ω ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿 ∧ 𝑃 ∈ Q)) ∧ ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 suc 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑋), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  suc csuc 4102  ωcom 4313  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   +_𝑜 coa 5998  [cec 6104   ~_Q ceq 6377  Qcnq 6378   +_Q cplq 6380   ·_Q cmq 6381   <_Q cltq 6383   ~_Q0 ceq0 6384   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388  Pcnp 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564

This theorem is referenced by:  prarloclem3  6595