ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2addnq Structured version   GIF version

Theorem lt2addnq 6249
Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lt2addnq (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2addnq
StepHypRef Expression
1 ltanqg 6245 . . . . . 6 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
213expa 1085 . . . . 5 (((A Q B Q) 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
32adantrr 448 . . . 4 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
4 addcomnqg 6226 . . . . . . 7 ((𝐶 Q A Q) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
54ancoms 255 . . . . . 6 ((A Q 𝐶 Q) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
65ad2ant2r 463 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
7 addcomnqg 6226 . . . . . . 7 ((𝐶 Q B Q) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
87ancoms 255 . . . . . 6 ((B Q 𝐶 Q) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
98ad2ant2lr 464 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
106, 9breq12d 3740 . . . 4 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B) ↔ (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶)))
113, 10bitrd 177 . . 3 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (A <Q B ↔ (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶)))
12 ltanqg 6245 . . . . . 6 ((𝐶 Q 𝐷 Q B Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
13123expa 1085 . . . . 5 (((𝐶 Q 𝐷 Q) B Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1413ancoms 255 . . . 4 ((B Q (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1514adantll 445 . . 3 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1611, 15anbi12d 442 . 2 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶) (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷))))
17 ltsonq 6243 . . 3 <Q Or Q
18 ltrelnq 6210 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1917, 18sotri 4635 . 2 (((A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶) (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷))
2016, 19syl6bi 152 1 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1223   wcel 1366   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  Qcnq 6126   +Q cplq 6128   <Q cltq 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-ltnqqs 6198
This theorem is referenced by:  addlocprlemeqgt  6373
  Copyright terms: Public domain W3C validator