ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2addnq Structured version   GIF version

Theorem lt2addnq 6388
Description: Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
lt2addnq (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))

Proof of Theorem lt2addnq
StepHypRef Expression
1 ltanqg 6384 . . . . . 6 ((A Q B Q 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
213expa 1103 . . . . 5 (((A Q B Q) 𝐶 Q) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
32adantrr 448 . . . 4 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (A <Q B ↔ (𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B)))
4 addcomnqg 6365 . . . . . . 7 ((𝐶 Q A Q) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
54ancoms 255 . . . . . 6 ((A Q 𝐶 Q) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
65ad2ant2r 478 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 +Q A) = (A +Q 𝐶))
7 addcomnqg 6365 . . . . . . 7 ((𝐶 Q B Q) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
87ancoms 255 . . . . . 6 ((B Q 𝐶 Q) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
98ad2ant2lr 479 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 +Q B) = (B +Q 𝐶))
106, 9breq12d 3768 . . . 4 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((𝐶 +Q A) <Q (𝐶 +Q B) ↔ (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶)))
113, 10bitrd 177 . . 3 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (A <Q B ↔ (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶)))
12 ltanqg 6384 . . . . . 6 ((𝐶 Q 𝐷 Q B Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
13123expa 1103 . . . . 5 (((𝐶 Q 𝐷 Q) B Q) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1413ancoms 255 . . . 4 ((B Q (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1514adantll 445 . . 3 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
1611, 15anbi12d 442 . 2 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) ↔ ((A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶) (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷))))
17 ltsonq 6382 . . 3 <Q Or Q
18 ltrelnq 6349 . . 3 <Q ⊆ (Q × Q)
1917, 18sotri 4663 . 2 (((A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐶) (B +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷))
2016, 19syl6bi 152 1 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A +Q 𝐶) <Q (B +Q 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  addlocprlemeqgt  6515  addnqpr1lemrl  6537  addnqpr1lemru  6538
  Copyright terms: Public domain W3C validator