ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  genplt2i Structured version   GIF version

Theorem genplt2i 6492
Description: Operating on both sides of two inequalities, when the operation is consistent with <Q. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
genplt2i.ord ((x Q y Q z Q) → (x <Q y ↔ (z𝐺x) <Q (z𝐺y)))
genplt2i.com ((x Q y Q) → (x𝐺y) = (y𝐺x))
Assertion
Ref Expression
genplt2i ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷))
Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   x,𝐷,y,z   x,𝐺,y,z

Proof of Theorem genplt2i
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → A <Q B)
2 genplt2i.ord . . . . 5 ((x Q y Q z Q) → (x <Q y ↔ (z𝐺x) <Q (z𝐺y)))
32adantl 262 . . . 4 (((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) (x Q y Q z Q)) → (x <Q y ↔ (z𝐺x) <Q (z𝐺y)))
4 ltrelnq 6349 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4335 . . . . 5 (A <Q B → (A Q B Q))
64brel 4335 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐷 → (𝐶 Q 𝐷 Q))
7 simpll 481 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → A Q)
85, 6, 7syl2an 273 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → A Q)
9 simplr 482 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → B Q)
105, 6, 9syl2an 273 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → B Q)
11 simprl 483 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → 𝐶 Q)
125, 6, 11syl2an 273 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 Q)
13 genplt2i.com . . . . 5 ((x Q y Q) → (x𝐺y) = (y𝐺x))
1413adantl 262 . . . 4 (((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) (x Q y Q)) → (x𝐺y) = (y𝐺x))
153, 8, 10, 12, 14caovord2d 5612 . . 3 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A <Q B ↔ (A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐶)))
161, 15mpbid 135 . 2 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐶))
17 simpr 103 . . 3 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐶 <Q 𝐷)
18 simprr 484 . . . . 5 (((A Q B Q) (𝐶 Q 𝐷 Q)) → 𝐷 Q)
195, 6, 18syl2an 273 . . . 4 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → 𝐷 Q)
203, 12, 19, 10caovordd 5611 . . 3 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (𝐶 <Q 𝐷 ↔ (B𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷)))
2117, 20mpbid 135 . 2 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (B𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷))
22 ltsonq 6382 . . 3 <Q Or Q
2322, 4sotri 4663 . 2 (((A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐶) (B𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷)) → (A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷))
2416, 21, 23syl2anc 391 1 ((A <Q B 𝐶 <Q 𝐷) → (A𝐺𝐶) <Q (B𝐺𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  genprndl  6504  genprndu  6505  genpdisj  6506
  Copyright terms: Public domain W3C validator