ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocprlemeq Structured version   GIF version

Theorem addlocprlemeq 6509
Description: Lemma for addlocpr 6512. The 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlocprlem.a (φA P)
addlocprlem.b (φB P)
addlocprlem.qr (φ𝑄 <Q 𝑅)
addlocprlem.p (φ𝑃 Q)
addlocprlem.qppr (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
addlocprlem.dlo (φ𝐷 (1stA))
addlocprlem.uup (φ𝑈 (2ndA))
addlocprlem.du (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
addlocprlem.elo (φ𝐸 (1stB))
addlocprlem.tup (φ𝑇 (2ndB))
addlocprlem.et (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
Assertion
Ref Expression
addlocprlemeq (φ → (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑅 (2nd ‘(A +P B))))

Proof of Theorem addlocprlemeq
StepHypRef Expression
1 addlocprlem.a . . . . . 6 (φA P)
2 addlocprlem.b . . . . . 6 (φB P)
3 addlocprlem.qr . . . . . 6 (φ𝑄 <Q 𝑅)
4 addlocprlem.p . . . . . 6 (φ𝑃 Q)
5 addlocprlem.qppr . . . . . 6 (φ → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
6 addlocprlem.dlo . . . . . 6 (φ𝐷 (1stA))
7 addlocprlem.uup . . . . . 6 (φ𝑈 (2ndA))
8 addlocprlem.du . . . . . 6 (φ𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
9 addlocprlem.elo . . . . . 6 (φ𝐸 (1stB))
10 addlocprlem.tup . . . . . 6 (φ𝑇 (2ndB))
11 addlocprlem.et . . . . . 6 (φ𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11addlocprlemeqgt 6508 . . . . 5 (φ → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1312adantr 261 . . . 4 ((φ 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
14 oveq1 5459 . . . . 5 (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
155, 14sylan9req 2090 . . . 4 ((φ 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → 𝑅 = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1613, 15breqtrrd 3780 . . 3 ((φ 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
171, 7jca 290 . . . . 5 (φ → (A P 𝑈 (2ndA)))
182, 10jca 290 . . . . 5 (φ → (B P 𝑇 (2ndB)))
19 ltrelnq 6342 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
2019brel 4334 . . . . . . 7 (𝑄 <Q 𝑅 → (𝑄 Q 𝑅 Q))
2120simprd 107 . . . . . 6 (𝑄 <Q 𝑅𝑅 Q)
223, 21syl 14 . . . . 5 (φ𝑅 Q)
23 addnqpru 6506 . . . . 5 ((((A P 𝑈 (2ndA)) (B P 𝑇 (2ndB))) 𝑅 Q) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
2417, 18, 22, 23syl21anc 1133 . . . 4 (φ → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
2524adantr 261 . . 3 ((φ 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
2616, 25mpd 13 . 2 ((φ 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → 𝑅 (2nd ‘(A +P B)))
2726ex 108 1 (φ → (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑅 (2nd ‘(A +P B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3754  cfv 4844  (class class class)co 5452  1st c1st 5704  2nd c2nd 5705  Qcnq 6257   +Q cplq 6259   <Q cltq 6262  Pcnp 6268   +P cpp 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-inp 6441  df-iplp 6443
This theorem is referenced by:  addlocprlem  6511
  Copyright terms: Public domain W3C validator