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Theorem recexprlemss1u 6606
Description: The upper cut of A ·P B is a subset of the upper cut of one. Lemma for recexpr 6608. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemss1u (A P → (2nd ‘(A ·P B)) ⊆ (2nd ‘1P))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem recexprlemss1u
Dummy variables 𝑞 z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . . . 6 B = ⟨{xy(x <Q y (*Qy) (2ndA))}, {xy(y <Q x (*Qy) (1stA))}⟩
21recexprlempr 6602 . . . . 5 (A PB P)
3 df-imp 6451 . . . . . 6 ·P = (y P, w P ↦ ⟨{u Qf Q g Q (f (1sty) g (1stw) u = (f ·Q g))}, {u Qf Q g Q (f (2ndy) g (2ndw) u = (f ·Q g))}⟩)
4 mulclnq 6360 . . . . . 6 ((f Q g Q) → (f ·Q g) Q)
53, 4genpelvu 6495 . . . . 5 ((A P B P) → (w (2nd ‘(A ·P B)) ↔ z (2ndA)𝑞 (2ndB)w = (z ·Q 𝑞)))
62, 5mpdan 398 . . . 4 (A P → (w (2nd ‘(A ·P B)) ↔ z (2ndA)𝑞 (2ndB)w = (z ·Q 𝑞)))
71recexprlemelu 6593 . . . . . . . 8 (𝑞 (2ndB) ↔ y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)))
8 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q ⊆ (Q × Q)
98brel 4335 . . . . . . . . . . . . 13 (y <Q 𝑞 → (y Q 𝑞 Q))
109simpld 105 . . . . . . . . . . . 12 (y <Q 𝑞y Q)
11 prop 6457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
12 elprnqu 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (2ndA)) → z Q)
1311, 12sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A P z (2ndA)) → z Q)
14 ltmnqi 6387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y <Q 𝑞 z Q) → (z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞))
1514expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z Q → (y <Q 𝑞 → (z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞)))
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A P z (2ndA)) → (y <Q 𝑞 → (z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞)))
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P z (2ndA)) y Q) → (y <Q 𝑞 → (z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞)))
18 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (*Qy) (1stA) z (2ndA)) → (*Qy) <Q z)
1911, 18syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((A P (*Qy) (1stA) z (2ndA)) → (*Qy) <Q z)
20193com23 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A P z (2ndA) (*Qy) (1stA)) → (*Qy) <Q z)
21203expia 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A P z (2ndA)) → ((*Qy) (1stA) → (*Qy) <Q z))
2221adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P z (2ndA)) y Q) → ((*Qy) (1stA) → (*Qy) <Q z))
23 ltmnqi 6387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((*Qy) <Q z y Q) → (y ·Q (*Qy)) <Q (y ·Q z))
2423expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (y Q → ((*Qy) <Q z → (y ·Q (*Qy)) <Q (y ·Q z)))
2524adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y Q z Q) → ((*Qy) <Q z → (y ·Q (*Qy)) <Q (y ·Q z)))
26 recidnq 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (y Q → (y ·Q (*Qy)) = 1Q)
2726adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y Q z Q) → (y ·Q (*Qy)) = 1Q)
28 mulcomnqg 6367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y Q z Q) → (y ·Q z) = (z ·Q y))
2927, 28breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y Q z Q) → ((y ·Q (*Qy)) <Q (y ·Q z) ↔ 1Q <Q (z ·Q y)))
3025, 29sylibd 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y Q z Q) → ((*Qy) <Q z → 1Q <Q (z ·Q y)))
3130ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((z Q y Q) → ((*Qy) <Q z → 1Q <Q (z ·Q y)))
3213, 31sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A P z (2ndA)) y Q) → ((*Qy) <Q z → 1Q <Q (z ·Q y)))
3322, 32syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A P z (2ndA)) y Q) → ((*Qy) (1stA) → 1Q <Q (z ·Q y)))
3417, 33anim12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A P z (2ndA)) y Q) → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) → ((z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞) 1Q <Q (z ·Q y))))
35 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
3635, 8sotri 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1Q <Q (z ·Q y) (z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞)) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞))
3736ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((z ·Q y) <Q (z ·Q 𝑞) 1Q <Q (z ·Q y)) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞))
3834, 37syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13 (((A P z (2ndA)) y Q) → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))
3938exp4b 349 . . . . . . . . . . . 12 ((A P z (2ndA)) → (y Q → (y <Q 𝑞 → ((*Qy) (1stA) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))))
4010, 39syl5 28 . . . . . . . . . . 11 ((A P z (2ndA)) → (y <Q 𝑞 → (y <Q 𝑞 → ((*Qy) (1stA) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))))
4140pm2.43d 44 . . . . . . . . . 10 ((A P z (2ndA)) → (y <Q 𝑞 → ((*Qy) (1stA) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞))))
4241impd 242 . . . . . . . . 9 ((A P z (2ndA)) → ((y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))
4342exlimdv 1697 . . . . . . . 8 ((A P z (2ndA)) → (y(y <Q 𝑞 (*Qy) (1stA)) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))
447, 43syl5bi 141 . . . . . . 7 ((A P z (2ndA)) → (𝑞 (2ndB) → 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))
45 breq2 3759 . . . . . . . 8 (w = (z ·Q 𝑞) → (1Q <Q w ↔ 1Q <Q (z ·Q 𝑞)))
4645biimprcd 149 . . . . . . 7 (1Q <Q (z ·Q 𝑞) → (w = (z ·Q 𝑞) → 1Q <Q w))
4744, 46syl6 29 . . . . . 6 ((A P z (2ndA)) → (𝑞 (2ndB) → (w = (z ·Q 𝑞) → 1Q <Q w)))
4847expimpd 345 . . . . 5 (A P → ((z (2ndA) 𝑞 (2ndB)) → (w = (z ·Q 𝑞) → 1Q <Q w)))
4948rexlimdvv 2433 . . . 4 (A P → (z (2ndA)𝑞 (2ndB)w = (z ·Q 𝑞) → 1Q <Q w))
506, 49sylbid 139 . . 3 (A P → (w (2nd ‘(A ·P B)) → 1Q <Q w))
51 1pru 6536 . . . 4 (2nd ‘1P) = {w ∣ 1Q <Q w}
5251abeq2i 2145 . . 3 (w (2nd ‘1P) ↔ 1Q <Q w)
5350, 52syl6ibr 151 . 2 (A P → (w (2nd ‘(A ·P B)) → w (2nd ‘1P)))
5453ssrdv 2945 1 (A P → (2nd ‘(A ·P B)) ⊆ (2nd ‘1P))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  1Qc1q 6265   ·Q cmq 6267  *Qcrq 6268   <Q cltq 6269  Pcnp 6275  1Pc1p 6276   ·P cmp 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-imp 6451
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6607
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