ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemupu GIF version

Theorem recexprlemupu 6724
Description: The upper cut of 𝐵 is upper. Lemma for recexpr 6734. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemupu ((𝐴P𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemupu
StepHypRef Expression
1 ltsonq 6494 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
2 ltrelnq 6461 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
31, 2sotri 4720 . . . . . . . 8 ((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → 𝑦 <Q 𝑟)
43expcom 109 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑦 <Q 𝑞𝑦 <Q 𝑟))
54anim1d 319 . . . . . 6 (𝑞 <Q 𝑟 → ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → (𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))))
65eximdv 1760 . . . . 5 (𝑞 <Q 𝑟 → (∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))))
7 recexpr.1 . . . . . 6 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
87recexprlemelu 6719 . . . . 5 (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
97recexprlemelu 6719 . . . . 5 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
106, 8, 93imtr4g 194 . . . 4 (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ (2nd𝐵) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵)))
1110imp 115 . . 3 ((𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵))
1211rexlimivw 2429 . 2 (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵))
1312a1i 9 1 ((𝐴P𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)) → 𝑟 ∈ (2nd𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  {cab 2026  wrex 2307  cop 3378   class class class wbr 3764  cfv 4902  1st c1st 5765  2nd c2nd 5766  Qcnq 6376  *Qcrq 6380   <Q cltq 6381  Pcnp 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-mi 6402  df-lti 6403  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-ltnqqs 6449
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  6725
  Copyright terms: Public domain W3C validator