ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc Structured version   GIF version

Theorem nqprloc 6527
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 6529. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (A Q𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
Distinct variable group:   x,A,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 6380 . . . . . . 7 ((𝑞 Q A Q) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
21ancoms 255 . . . . . 6 ((A Q 𝑞 Q) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
32ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
4 vex 2554 . . . . . . . . . 10 𝑞 V
5 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (x = 𝑞 → (x <Q A𝑞 <Q A))
64, 5elab 2681 . . . . . . . . 9 (𝑞 {xx <Q A} ↔ 𝑞 <Q A)
76biimpri 124 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q A𝑞 {xx <Q A})
87orcd 651 . . . . . . 7 (𝑞 <Q A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
10 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3758 . . . . . . . 8 (𝑞 = A → (𝑞 <Q 𝑟A <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 144 . . . . . . 7 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = AA <Q 𝑟))
13 vex 2554 . . . . . . . . 9 𝑟 V
14 breq2 3759 . . . . . . . . 9 (x = 𝑟 → (A <Q xA <Q 𝑟))
1513, 14elab 2681 . . . . . . . 8 (𝑟 {xA <Q x} ↔ A <Q 𝑟)
16 olc 631 . . . . . . . 8 (𝑟 {xA <Q x} → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
1715, 16sylbir 125 . . . . . . 7 (A <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
1812, 17syl6 29 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
19 ltsonq 6382 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 4663 . . . . . . . . 9 ((A <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑟) → A <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((A <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
2322expcom 109 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (A <Q 𝑞 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2423adantl 262 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (A <Q 𝑞 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
259, 18, 243jaod 1198 . . . . 5 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
2726ex 108 . . 3 (((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2827ralrimiva 2386 . 2 ((A Q 𝑞 Q) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2928ralrimiva 2386 1 (A Q𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300   class class class wbr 3755  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  nqprxx  6528
  Copyright terms: Public domain W3C validator