ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprloc Structured version   GIF version

Theorem nqprloc 6394
Description: A cut produced from a rational is located. Lemma for nqprlu 6395. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprloc (A Q𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
Distinct variable group:   x,A,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprloc
StepHypRef Expression
1 nqtri3or 6249 . . . . . . 7 ((𝑞 Q A Q) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
21ancoms 255 . . . . . 6 ((A Q 𝑞 Q) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
32ad2antrr 460 . . . . 5 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞))
4 vex 2534 . . . . . . . . . 10 𝑞 V
5 breq1 3737 . . . . . . . . . 10 (x = 𝑞 → (x <Q A𝑞 <Q A))
64, 5elab 2660 . . . . . . . . 9 (𝑞 {xx <Q A} ↔ 𝑞 <Q A)
76biimpri 124 . . . . . . . 8 (𝑞 <Q A𝑞 {xx <Q A})
87orcd 639 . . . . . . 7 (𝑞 <Q A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
98a1i 9 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
10 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → 𝑞 <Q 𝑟)
11 breq1 3737 . . . . . . . 8 (𝑞 = A → (𝑞 <Q 𝑟A <Q 𝑟))
1210, 11syl5ibcom 144 . . . . . . 7 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = AA <Q 𝑟))
13 vex 2534 . . . . . . . . 9 𝑟 V
14 breq2 3738 . . . . . . . . 9 (x = 𝑟 → (A <Q xA <Q 𝑟))
1513, 14elab 2660 . . . . . . . 8 (𝑟 {xA <Q x} ↔ A <Q 𝑟)
16 olc 619 . . . . . . . 8 (𝑟 {xA <Q x} → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
1715, 16sylbir 125 . . . . . . 7 (A <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
1812, 17syl6 29 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 = A → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
19 ltsonq 6251 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
20 ltrelnq 6218 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
2119, 20sotri 4643 . . . . . . . . 9 ((A <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑟) → A <Q 𝑟)
2221, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((A <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
2322expcom 109 . . . . . . 7 (𝑞 <Q 𝑟 → (A <Q 𝑞 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2423adantl 262 . . . . . 6 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (A <Q 𝑞 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
259, 18, 243jaod 1183 . . . . 5 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → ((𝑞 <Q A 𝑞 = A A <Q 𝑞) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
263, 25mpd 13 . . . 4 ((((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) 𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x}))
2726ex 108 . . 3 (((A Q 𝑞 Q) 𝑟 Q) → (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2827ralrimiva 2366 . 2 ((A Q 𝑞 Q) → 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
2928ralrimiva 2366 1 (A Q𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 {xx <Q A} 𝑟 {xA <Q x})))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 616   w3o 870   = wceq 1226   wcel 1370  {cab 2004  wral 2280   class class class wbr 3734  Qcnq 6134   <Q cltq 6139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206
This theorem is referenced by:  nqprlu  6395
  Copyright terms: Public domain W3C validator