Theorem ffvelrnda 5245

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (φ → 𝐹:A⟶B)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	⊢ ((φ ∧ 𝐶 ∈ A) → (𝐹‘𝐶) ∈ B)

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 ⊢ (φ → 𝐹:A⟶B)
2		ffvelrn 5243	. 2 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ∈ A) → (𝐹‘𝐶) ∈ B)
3	1, 2	sylan 267	1 ⊢ ((φ ∧ 𝐶 ∈ A) → (𝐹‘𝐶) ∈ B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5246  f1ocnvdm  5364  foeqcnvco  5373  f1oiso2  5409  suppssof1  5670  ofco  5671  caofref  5674  caofinvl  5675  caofcom  5676  caofrss  5677  caoftrn  5678  smofvon2dm  5852  smofvon  5855