Theorem ffvelrnda 5302

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ffvelrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrnda	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelrnda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffvelrn 5300	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1, 2	sylan 267	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1393  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  ffvelrnd  5303  f1ocnvdm  5421  foeqcnvco  5430  f1oiso2  5466  suppssof1  5728  ofco  5729  caofref  5732  caofinvl  5733  caofcom  5734  caofrss  5735  caoftrn  5736  smofvon2dm  5911  smofvon  5914  ordiso2  6357  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprprlemopu  6797  caucvgprprlemexbt  6804  caucvgprprlemexb  6805  caucvgsrlemcl  6873  caucvgsrlemfv  6875  caucvgsrlemcau  6877  caucvgsrlembound  6878  caucvgsrlemoffval  6880  caucvgsrlemofff  6881  caucvgsrlemoffgt1  6883  caucvgsrlemoffres  6884  caucvgsr  6886  axcaucvglemcl  6969  monoord2  9236  resqrexlemfp1  9607  resqrexlemover  9608  resqrexlemdec  9609  resqrexlemlo  9611  resqrexlemcalc1  9612  resqrexlemcalc2  9613  resqrexlemcalc3  9614  resqrexlemgt0  9618  resqrexlemsqa  9622  clim2iser  9857  clim2iser2  9858  iisermulc2  9860  iserile  9862  climserile  9865  climrecvg1n  9867  climcvg1nlem  9868  nn0seqcvgd  9880  ialginv  9886  ialgcvg  9887  ialgcvga  9890  ialgfx  9891