Theorem ltnqpr 6691

Description: We can order fractions via <_Q or <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpr	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴   𝐵,𝑙   𝑢,𝐵

Proof of Theorem ltnqpr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprlu 6645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
2		nqprlu 6645	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
3		ltdfpr 6604	. . . 4 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
4	1, 2, 3	syl2an 273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
5		vex 2560	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		breq2 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <Q 𝑢 ↔ 𝐴 <Q 𝑥))
7		ltnqex 6647	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴} ∈ V
8		gtnqex 6648	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢} ∈ V
9	7, 8	op2nd 5774	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}
10	5, 6, 9	elab2 2690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <Q 𝑥)
11		breq1 3767	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑥 → (𝑙 <Q 𝐵 ↔ 𝑥 <Q 𝐵))
12		ltnqex 6647	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵} ∈ V
13		gtnqex 6648	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢} ∈ V
14	12, 13	op1st 5773	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}
15	5, 11, 14	elab2 2690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 <Q 𝐵)
16	10, 15	anbi12i 433	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
17	16	rexbii 2331	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
18	4, 17	syl6bb 185	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
19		ltbtwnnqq 6513	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
20	18, 19	syl6rbbr 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <Q 𝑢}⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  {cab 2026  ∃wrex 2307  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  1^st c1st 5765  2^nd c2nd 5766  Qcnq 6378   <_Q cltq 6383  Pcnp 6389  <_P cltp 6393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564  df-iltp 6568

This theorem is referenced by:  prplnqu  6718  ltrennb  6930