ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvpom Structured version   GIF version

Theorem cnvpom 4803
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpom (x x A → (𝑅 Po A𝑅 Po A))
Distinct variable groups:   x,A   x,𝑅

Proof of Theorem cnvpom
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2435 . . . . . . 7 (w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A z A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
2 ralidm 3315 . . . . . . . . 9 (w A w A ¬ w𝑅ww A ¬ w𝑅w)
3 r19.3rmv 3306 . . . . . . . . . 10 (x x A → (¬ w𝑅wz A ¬ w𝑅w))
43ralbidv 2320 . . . . . . . . 9 (x x A → (w A ¬ w𝑅ww A z A ¬ w𝑅w))
52, 4syl5rbb 182 . . . . . . . 8 (x x A → (w A z A ¬ w𝑅ww A w A ¬ w𝑅w))
65anbi1d 438 . . . . . . 7 (x x A → ((w A z A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
71, 6syl5bb 181 . . . . . 6 (x x A → (w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
8 r19.26 2435 . . . . . . 7 (z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
98ralbii 2324 . . . . . 6 (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
10 r19.26 2435 . . . . . 6 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
117, 9, 103bitr4g 212 . . . . 5 (x x A → (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
12 r19.26 2435 . . . . . . . 8 (z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ (z A ¬ z𝑅z z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
13 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 z V
1413, 13brcnv 4461 . . . . . . . . . . . 12 (z𝑅zz𝑅z)
15 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (z = wz = w)
1615, 15breq12d 3768 . . . . . . . . . . . 12 (z = w → (z𝑅zw𝑅w))
1714, 16syl5bb 181 . . . . . . . . . . 11 (z = w → (z𝑅zw𝑅w))
1817notbid 591 . . . . . . . . . 10 (z = w → (¬ z𝑅z ↔ ¬ w𝑅w))
1918cbvralv 2527 . . . . . . . . 9 (z A ¬ z𝑅zw A ¬ w𝑅w)
20 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 y V
2113, 20brcnv 4461 . . . . . . . . . . . 12 (z𝑅yy𝑅z)
22 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 w V
2320, 22brcnv 4461 . . . . . . . . . . . 12 (y𝑅ww𝑅y)
2421, 23anbi12ci 434 . . . . . . . . . . 11 ((z𝑅y y𝑅w) ↔ (w𝑅y y𝑅z))
2513, 22brcnv 4461 . . . . . . . . . . 11 (z𝑅ww𝑅z)
2624, 25imbi12i 228 . . . . . . . . . 10 (((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w) ↔ ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))
2726ralbii 2324 . . . . . . . . 9 (z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w) ↔ z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))
2819, 27anbi12i 433 . . . . . . . 8 ((z A ¬ z𝑅z z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
2912, 28bitr2i 174 . . . . . . 7 ((w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3029ralbii 2324 . . . . . 6 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
31 ralcom 2467 . . . . . 6 (w A z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3230, 31bitri 173 . . . . 5 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3311, 32syl6bb 185 . . . 4 (x x A → (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
3433ralbidv 2320 . . 3 (x x A → (y A w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ y A z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
35 ralcom 2467 . . 3 (w A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ y A w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
36 ralcom 2467 . . 3 (z A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ y A z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3734, 35, 363bitr4g 212 . 2 (x x A → (w A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
38 df-po 4024 . 2 (𝑅 Po Aw A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
39 df-po 4024 . 2 (𝑅 Po Az A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
4037, 38, 393bitr4g 212 1 (x x A → (𝑅 Po A𝑅 Po A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98  wex 1378   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755   Po wpo 4022  ccnv 4287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-cnv 4296
This theorem is referenced by:  cnvsom  4804
  Copyright terms: Public domain W3C validator