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Theorem cnvpom 4775
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpom (x x A → (𝑅 Po A𝑅 Po A))
Distinct variable groups:   x,A   x,𝑅

Proof of Theorem cnvpom
Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2410 . . . . . . 7 (w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A z A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
2 ralidm 3289 . . . . . . . . 9 (w A w A ¬ w𝑅ww A ¬ w𝑅w)
3 r19.3rmv 3280 . . . . . . . . . 10 (x x A → (¬ w𝑅wz A ¬ w𝑅w))
43ralbidv 2295 . . . . . . . . 9 (x x A → (w A ¬ w𝑅ww A z A ¬ w𝑅w))
52, 4syl5rbb 182 . . . . . . . 8 (x x A → (w A z A ¬ w𝑅ww A w A ¬ w𝑅w))
65anbi1d 438 . . . . . . 7 (x x A → ((w A z A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
71, 6syl5bb 181 . . . . . 6 (x x A → (w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
8 r19.26 2410 . . . . . . 7 (z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
98ralbii 2299 . . . . . 6 (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A (z A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
10 r19.26 2410 . . . . . 6 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ (w A w A ¬ w𝑅w w A z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
117, 9, 103bitr4g 212 . . . . 5 (x x A → (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))))
12 r19.26 2410 . . . . . . . 8 (z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ (z A ¬ z𝑅z z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
13 vex 2529 . . . . . . . . . . . . 13 z V
1413, 13brcnv 4433 . . . . . . . . . . . 12 (z𝑅zz𝑅z)
15 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (z = wz = w)
1615, 15breq12d 3740 . . . . . . . . . . . 12 (z = w → (z𝑅zw𝑅w))
1714, 16syl5bb 181 . . . . . . . . . . 11 (z = w → (z𝑅zw𝑅w))
1817notbid 576 . . . . . . . . . 10 (z = w → (¬ z𝑅z ↔ ¬ w𝑅w))
1918cbvralv 2502 . . . . . . . . 9 (z A ¬ z𝑅zw A ¬ w𝑅w)
20 vex 2529 . . . . . . . . . . . . 13 y V
2113, 20brcnv 4433 . . . . . . . . . . . 12 (z𝑅yy𝑅z)
22 vex 2529 . . . . . . . . . . . . 13 w V
2320, 22brcnv 4433 . . . . . . . . . . . 12 (y𝑅ww𝑅y)
2421, 23anbi12ci 434 . . . . . . . . . . 11 ((z𝑅y y𝑅w) ↔ (w𝑅y y𝑅z))
2513, 22brcnv 4433 . . . . . . . . . . 11 (z𝑅ww𝑅z)
2624, 25imbi12i 228 . . . . . . . . . 10 (((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w) ↔ ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))
2726ralbii 2299 . . . . . . . . 9 (z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w) ↔ z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z))
2819, 27anbi12i 433 . . . . . . . 8 ((z A ¬ z𝑅z z A ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
2912, 28bitr2i 174 . . . . . . 7 ((w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3029ralbii 2299 . . . . . 6 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ w A z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
31 ralcom 2442 . . . . . 6 (w A z Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3230, 31bitri 173 . . . . 5 (w A (w A ¬ w𝑅w z A ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3311, 32syl6bb 185 . . . 4 (x x A → (w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
3433ralbidv 2295 . . 3 (x x A → (y A w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ y A z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
35 ralcom 2442 . . 3 (w A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ y A w A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
36 ralcom 2442 . . 3 (z A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)) ↔ y A z A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
3734, 35, 363bitr4g 212 . 2 (x x A → (w A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)) ↔ z A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w))))
38 df-po 3996 . 2 (𝑅 Po Aw A y A z Aw𝑅w ((w𝑅y y𝑅z) → w𝑅z)))
39 df-po 3996 . 2 (𝑅 Po Az A y A w Az𝑅z ((z𝑅y y𝑅w) → z𝑅w)))
4037, 38, 393bitr4g 212 1 (x x A → (𝑅 Po A𝑅 Po A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98  wex 1354   wcel 1366  wral 2275   class class class wbr 3727   Po wpo 3994  ccnv 4259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-v 2528  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-br 3728  df-opab 3782  df-po 3996  df-cnv 4268
This theorem is referenced by:  cnvsom  4776
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