ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsom GIF version

Theorem cnvsom 4861
Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnvsom (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem cnvsom
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvpom 4860 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴))
2 vex 2560 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3 vex 2560 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
42, 3brcnv 4518 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
5 vex 2560 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
62, 5brcnv 4518 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
75, 3brcnv 4518 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧)
86, 7orbi12i 681 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧))
9 orcom 647 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
108, 9bitri 173 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
114, 10imbi12i 228 . . . . . . 7 ((𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
1211ralbii 2330 . . . . . 6 (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
13122ralbii 2332 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
14 ralcom 2473 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1513, 14bitr3i 175 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))
1615a1i 9 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
171, 16anbi12d 442 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥)))))
18 df-iso 4034 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))))
19 df-iso 4034 . 2 (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑥))))
2017, 18, 193bitr4g 212 1 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  wex 1381  wcel 1393  wral 2306   class class class wbr 3764   Po wpo 4031   Or wor 4032  ccnv 4344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-po 4033  df-iso 4034  df-cnv 4353
This theorem is referenced by:  gtso  7095
  Copyright terms: Public domain W3C validator