Theorem cnvsom 4861

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsom	|- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvsom

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpom 4860	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )
2		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	2, 3	brcnv 4518	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
5		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	2, 5	brcnv 4518	. . . . . . . . . 10 |- ( y `' R z <-> z R y )
7	5, 3	brcnv 4518	. . . . . . . . . 10 |- ( z `' R x <-> x R z )
8	6, 7	orbi12i 681	. . . . . . . . 9 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( z R y \/ x R z ) )
9		orcom 647	. . . . . . . . 9 |- ( ( z R y \/ x R z ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
10	8, 9	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( ( y `' R z \/ z `' R x ) <-> ( x R z \/ z R y ) )
11	4, 10	imbi12i 228	. . . . . . 7 |- ( ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
12	11	ralbii 2330	. . . . . 6 |- ( A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
13	12	2ralbii 2332	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) )
14		ralcom 2473	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
15	13, 14	bitr3i 175	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
17	1, 16	anbi12d 442	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) ) )
18		df-iso 4034	. 2 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		df-iso 4034	. 2 |- ( `' R Or A <-> ( `' R Po A /\ A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( y `' R x -> ( y `' R z \/ z `' R x ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 212	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Or A <-> `' R Or A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   class class class wbr 3764   Po wpo 4031   Or wor 4032   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-po 4033  df-iso 4034  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  gtso  7097