ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  monoord GIF version

Theorem monoord 9209
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoord.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
monoord (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 8894 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 14 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2100 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65breq2d 3776 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
74, 6imbi12d 223 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
87imbi2d 219 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))))
9 eleq1 2100 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
10 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 3776 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 223 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 219 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2100 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
15 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 3776 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 223 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 219 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2100 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
20 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 3776 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 223 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 219 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))))
24 eluzfz1 8893 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
251, 24syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
26 monoord.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2726ralrimiva 2392 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
28 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2928eleq1d 2106 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
3029rspcv 2652 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
3125, 27, 30sylc 56 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
3231leidd 7504 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))
3332a1d 22 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀)))
3433a1i 9 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑀))))
35 simprl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
36 simprr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
37 peano2fzr 8899 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3938expr 357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
4039imim1d 69 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))))
41 eluzelz 8480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
4235, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
43 elfzuz3 8885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
4436, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
45 eluzp1m1 8494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
4642, 44, 45syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
47 elfzuzb 8882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
4835, 46, 47sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
49 monoord.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5049ralrimiva 2392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5150adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
52 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
53 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
5453fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5552, 54breq12d 3777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5655rspcv 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5748, 51, 56sylc 56 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5831adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
5927adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6052eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
6160rspcv 2652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
6238, 59, 61sylc 56 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
63 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6463eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
6564rspcv 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
6636, 59, 65sylc 56 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
67 letr 7099 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6858, 62, 66, 67syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → (((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6957, 68mpan2d 404 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))
7069expr 357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7170a2d 23 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7240, 71syld 40 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
7372expcom 109 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
7473a2d 23 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
758, 13, 18, 23, 34, 74uzind4 8529 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))))
761, 75mpcom 32 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁)))
773, 76mpd 13 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) ≤ (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6886  1c1 6888   + caddc 6890  cle 7059  cmin 7180  cz 8243  cuz 8471  ...cfz 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873
This theorem is referenced by:  monoord2  9210  isermono  9211  climub  9837
  Copyright terms: Public domain W3C validator