ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caovordg Structured version   GIF version

Theorem caovordg 5610
Description: Convert an operation ordering law to class notation. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
caovordg.1 ((φ (x 𝑆 y 𝑆 z 𝑆)) → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
Assertion
Ref Expression
caovordg ((φ (A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆)) → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,𝐶,y,z   φ,x,y,z   x,𝐹,y,z   x,𝑅,y,z   x,𝑆,y,z

Proof of Theorem caovordg
StepHypRef Expression
1 caovordg.1 . . 3 ((φ (x 𝑆 y 𝑆 z 𝑆)) → (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
21ralrimivvva 2396 . 2 (φx 𝑆 y 𝑆 z 𝑆 (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)))
3 breq1 3758 . . . 4 (x = A → (x𝑅yA𝑅y))
4 oveq2 5463 . . . . 5 (x = A → (z𝐹x) = (z𝐹A))
54breq1d 3765 . . . 4 (x = A → ((z𝐹x)𝑅(z𝐹y) ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y)))
63, 5bibi12d 224 . . 3 (x = A → ((x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)) ↔ (A𝑅y ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y))))
7 breq2 3759 . . . 4 (y = B → (A𝑅yA𝑅B))
8 oveq2 5463 . . . . 5 (y = B → (z𝐹y) = (z𝐹B))
98breq2d 3767 . . . 4 (y = B → ((z𝐹A)𝑅(z𝐹y) ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)))
107, 9bibi12d 224 . . 3 (y = B → ((A𝑅y ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹y)) ↔ (A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B))))
11 oveq1 5462 . . . . 5 (z = 𝐶 → (z𝐹A) = (𝐶𝐹A))
12 oveq1 5462 . . . . 5 (z = 𝐶 → (z𝐹B) = (𝐶𝐹B))
1311, 12breq12d 3768 . . . 4 (z = 𝐶 → ((z𝐹A)𝑅(z𝐹B) ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
1413bibi2d 221 . . 3 (z = 𝐶 → ((A𝑅B ↔ (z𝐹A)𝑅(z𝐹B)) ↔ (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B))))
156, 10, 14rspc3v 2659 . 2 ((A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆) → (x 𝑆 y 𝑆 z 𝑆 (x𝑅y ↔ (z𝐹x)𝑅(z𝐹y)) → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B))))
162, 15mpan9 265 1 ((φ (A 𝑆 B 𝑆 𝐶 𝑆)) → (A𝑅B ↔ (𝐶𝐹A)𝑅(𝐶𝐹B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  caovordd  5611
  Copyright terms: Public domain W3C validator