ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apadd1 Structured version   GIF version

Theorem apadd1 7372
Description: Addition respects apartness. Analogue of addcan 6968 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apadd1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))

Proof of Theorem apadd1
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6801 . . 3 (𝐶 ℂ → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
213ad2ant3 926 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
3 cnre 6801 . . . . . . 7 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
433ad2ant2 925 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
54ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → z w B = (z + (i · w)))
6 cnre 6801 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
763ad2ant1 924 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
87ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → x y A = (x + (i · y)))
98ad2antrr 457 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x y A = (x + (i · y)))
10 simplrl 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
11 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
12 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → z ℝ)
1312ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℝ)
14 simprr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → w ℝ)
1514ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℝ)
16 apreim 7367 . . . . . . . . . . . 12 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
1710, 11, 13, 15, 16syl22anc 1135 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
18 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
19 simpllr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
2018, 19breq12d 3768 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
21 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → u ℝ)
2221ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → u ℝ)
2322ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℝ)
2410, 23readdcld 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x + u) ℝ)
25 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → v ℝ)
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → v ℝ)
2726ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℝ)
2811, 27readdcld 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y + v) ℝ)
2913, 23readdcld 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z + u) ℝ)
3015, 27readdcld 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w + v) ℝ)
31 apreim 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((((x + u) (y + v) ℝ) ((z + u) (w + v) ℝ)) → (((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v))) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
3224, 28, 29, 30, 31syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v))) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
3310recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℂ)
34 ax-icn 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i
3534a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → i ℂ)
3611recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℂ)
3735, 36mulcld 6825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · y) ℂ)
3823recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℂ)
3927recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℂ)
4035, 39mulcld 6825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · v) ℂ)
4133, 37, 38, 40add4d 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) + (u + (i · v))) = ((x + u) + ((i · y) + (i · v))))
42 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
4342ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
4418, 43oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A + 𝐶) = ((x + (i · y)) + (u + (i · v))))
4535, 36, 39adddid 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · (y + v)) = ((i · y) + (i · v)))
4645oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + u) + (i · (y + v))) = ((x + u) + ((i · y) + (i · v))))
4741, 44, 463eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A + 𝐶) = ((x + u) + (i · (y + v))))
4813recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℂ)
4915recnd 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℂ)
5035, 49mulcld 6825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · w) ℂ)
5148, 50, 38, 40add4d 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) + (u + (i · v))) = ((z + u) + ((i · w) + (i · v))))
5219, 43oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B + 𝐶) = ((z + (i · w)) + (u + (i · v))))
5335, 49, 39adddid 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · (w + v)) = ((i · w) + (i · v)))
5453oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + u) + (i · (w + v))) = ((z + u) + ((i · w) + (i · v))))
5551, 52, 543eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B + 𝐶) = ((z + u) + (i · (w + v))))
5647, 55breq12d 3768 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A + 𝐶) # (B + 𝐶) ↔ ((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v)))))
57 reapadd1 7360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x z u ℝ) → (x # z ↔ (x + u) # (z + u)))
5810, 13, 23, 57syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x # z ↔ (x + u) # (z + u)))
59 reapadd1 7360 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y w v ℝ) → (y # w ↔ (y + v) # (w + v)))
6011, 15, 27, 59syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y # w ↔ (y + v) # (w + v)))
6158, 60orbi12d 706 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x # z y # w) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
6232, 56, 613bitr4d 209 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A + 𝐶) # (B + 𝐶) ↔ (x # z y # w)))
6317, 20, 623bitr4d 209 . . . . . . . . . 10 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
6463ex 108 . . . . . . . . 9 (((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
6564rexlimdvva 2434 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
669, 65mpd 13 . . . . . . 7 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
6766ex 108 . . . . . 6 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
6867rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (z w B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
695, 68mpd 13 . . . 4 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
7069ex 108 . . 3 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
7170rexlimdvva 2434 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (u v 𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
722, 71mpd 13 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6689  cr 6690  ici 6693   + caddc 6694   · cmul 6696   # cap 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-ltxr 6842  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346
This theorem is referenced by:  apadd2  7373  addext  7374
  Copyright terms: Public domain W3C validator