ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apadd1 Structured version   GIF version

Theorem apadd1 7195
Description: Addition respects apartness. Analogue of addcan 6791 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apadd1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))

Proof of Theorem apadd1
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6624 . . 3 (𝐶 ℂ → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
213ad2ant3 909 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → u v 𝐶 = (u + (i · v)))
3 cnre 6624 . . . . . . 7 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
433ad2ant2 908 . . . . . 6 ((A B 𝐶 ℂ) → z w B = (z + (i · w)))
54ad2antrr 457 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → z w B = (z + (i · w)))
6 cnre 6624 . . . . . . . . . . 11 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
763ad2ant1 907 . . . . . . . . . 10 ((A B 𝐶 ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
87ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → x y A = (x + (i · y)))
98ad2antrr 457 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x y A = (x + (i · y)))
10 simplrl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
11 simplrr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
12 simprl 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → z ℝ)
1312ad3antrrr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℝ)
14 simprr 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → w ℝ)
1514ad3antrrr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℝ)
16 apreim 7190 . . . . . . . . . . . 12 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
1710, 11, 13, 15, 16syl22anc 1117 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
18 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → A = (x + (i · y)))
19 simpllr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → B = (z + (i · w)))
2018, 19breq12d 3740 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
21 simprl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → u ℝ)
2221ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → u ℝ)
2322ad3antrrr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℝ)
2410, 23readdcld 6655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x + u) ℝ)
25 simprr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → v ℝ)
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → v ℝ)
2726ad3antrrr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℝ)
2811, 27readdcld 6655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y + v) ℝ)
2913, 23readdcld 6655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z + u) ℝ)
3015, 27readdcld 6655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (w + v) ℝ)
31 apreim 7190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((x + u) (y + v) ℝ) ((z + u) (w + v) ℝ)) → (((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v))) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
3224, 28, 29, 30, 31syl22anc 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v))) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
3310recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℂ)
34 ax-icn 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i
3534a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → i ℂ)
3611recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℂ)
3735, 36mulcld 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · y) ℂ)
3823recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → u ℂ)
3927recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → v ℂ)
4035, 39mulcld 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · v) ℂ)
4133, 37, 38, 40add4d 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + (i · y)) + (u + (i · v))) = ((x + u) + ((i · y) + (i · v))))
42 simplr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → 𝐶 = (u + (i · v)))
4342ad3antrrr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → 𝐶 = (u + (i · v)))
4418, 43oveq12d 5442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A + 𝐶) = ((x + (i · y)) + (u + (i · v))))
4535, 36, 39adddid 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · (y + v)) = ((i · y) + (i · v)))
4645oveq2d 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x + u) + (i · (y + v))) = ((x + u) + ((i · y) + (i · v))))
4741, 44, 463eqtr4d 2055 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A + 𝐶) = ((x + u) + (i · (y + v))))
4813recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z ℂ)
4915recnd 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → w ℂ)
5035, 49mulcld 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · w) ℂ)
5148, 50, 38, 40add4d 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + (i · w)) + (u + (i · v))) = ((z + u) + ((i · w) + (i · v))))
5219, 43oveq12d 5442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B + 𝐶) = ((z + (i · w)) + (u + (i · v))))
5335, 49, 39adddid 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (i · (w + v)) = ((i · w) + (i · v)))
5453oveq2d 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((z + u) + (i · (w + v))) = ((z + u) + ((i · w) + (i · v))))
5551, 52, 543eqtr4d 2055 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (B + 𝐶) = ((z + u) + (i · (w + v))))
5647, 55breq12d 3740 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A + 𝐶) # (B + 𝐶) ↔ ((x + u) + (i · (y + v))) # ((z + u) + (i · (w + v)))))
57 reapadd1 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x z u ℝ) → (x # z ↔ (x + u) # (z + u)))
5810, 13, 23, 57syl3anc 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (x # z ↔ (x + u) # (z + u)))
59 reapadd1 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y w v ℝ) → (y # w ↔ (y + v) # (w + v)))
6011, 15, 27, 59syl3anc 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (y # w ↔ (y + v) # (w + v)))
6158, 60orbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((x # z y # w) ↔ ((x + u) # (z + u) (y + v) # (w + v))))
6232, 56, 613bitr4d 209 . . . . . . . . . . 11 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((A + 𝐶) # (B + 𝐶) ↔ (x # z y # w)))
6317, 20, 623bitr4d 209 . . . . . . . . . 10 ((((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
6463ex 108 . . . . . . . . 9 (((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
6564rexlimdvva 2409 . . . . . . . 8 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x y A = (x + (i · y)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
669, 65mpd 13 . . . . . . 7 ((((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
6766ex 108 . . . . . 6 (((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
6867rexlimdvva 2409 . . . . 5 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (z w B = (z + (i · w)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
695, 68mpd 13 . . . 4 ((((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) 𝐶 = (u + (i · v))) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
7069ex 108 . . 3 (((A B 𝐶 ℂ) (u v ℝ)) → (𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
7170rexlimdvva 2409 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (u v 𝐶 = (u + (i · v)) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶))))
722, 71mpd 13 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A # B ↔ (A + 𝐶) # (B + 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 613   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  wrex 2276   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  cc 6518  cr 6519  ici 6522   + caddc 6523   · cmul 6525   # cap 7168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-1re 6581  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-mulrcl 6586  ax-addcom 6587  ax-mulcom 6588  ax-addass 6589  ax-mulass 6590  ax-distr 6591  ax-i2m1 6592  ax-1rid 6594  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-precex 6597  ax-cnre 6598  ax-pre-ltirr 6599  ax-pre-lttrn 6601  ax-pre-apti 6602  ax-pre-ltadd 6603  ax-pre-mulgt0 6604
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-riota 5381  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-ltr 6468  df-0r 6469  df-1r 6470  df-0 6527  df-1 6528  df-r 6530  df-lt 6533  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665  df-sub 6784  df-neg 6785  df-reap 7162  df-ap 7169
This theorem is referenced by:  apadd2  7196  addext  7197
  Copyright terms: Public domain W3C validator