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Theorem resqrexlemcalc3 9614
 Description: Lemma for resqrex 9624. Some of the calculations involved in showing that the sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemcalc3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemcalc3
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
21oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘1)↑2))
32oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
4 oveq1 5519 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑤 − 1) = (1 − 1))
54oveq2d 5528 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(1 − 1)))
65oveq2d 5528 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
73, 6breq12d 3777 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1)))))
87imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))))
9 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
109oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
1110oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴))
12 oveq1 5519 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 − 1) = (𝑘 − 1))
1312oveq2d 5528 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑘 − 1)))
1413oveq2d 5528 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
1511, 14breq12d 3777 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))))
1615imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))))
17 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1817oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2))
1918oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴))
20 oveq1 5519 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑤 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
2120oveq2d 5528 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑((𝑘 + 1) − 1)))
2221oveq2d 5528 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
2319, 22breq12d 3777 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
2423imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
25 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
2625oveq1d 5527 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐹𝑤)↑2) = ((𝐹𝑁)↑2))
2726oveq1d 5527 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) = (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
28 oveq1 5519 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝑤 − 1) = (𝑁 − 1))
2928oveq2d 5528 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (4↑(𝑤 − 1)) = (4↑(𝑁 − 1)))
3029oveq2d 5528 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
3127, 30breq12d 3777 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1))) ↔ (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
3231imbi2d 219 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (((𝐹𝑤)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑤 − 1)))) ↔ (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))))
33 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3433renegcld 7378 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
35 0red 7028 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
36 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . 10 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
37 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3836, 33, 37resqrexlemf 9605 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
39 1nn 7925 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
4039a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 5303 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
4241rpred 8622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ)
4342resqcld 9406 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
4433le0neg2d 7510 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
4537, 44mpbid 135 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 ≤ 0)
4634, 35, 43, 45leadd2dd 7551 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) + 0))
4743recnd 7054 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
4833recnd 7054 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4947, 48negsubd 7328 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + -𝐴) = (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴))
5047addid1d 7162 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) + 0) = ((𝐹‘1)↑2))
5146, 49, 503brtr3d 3793 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ ((𝐹‘1)↑2))
52 1m1e0 7984 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
5352oveq2i 5523 . . . . . . 7 (4↑(1 − 1)) = (4↑0)
54 4cn 7993 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
55 exp0 9259 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ → (4↑0) = 1)
5654, 55ax-mp 7 . . . . . . 7 (4↑0) = 1
5753, 56eqtri 2060 . . . . . 6 (4↑(1 − 1)) = 1
5857oveq2i 5523 . . . . 5 (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / 1)
5947div1d 7756 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / 1) = ((𝐹‘1)↑2))
6058, 59syl5eq 2084 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))) = ((𝐹‘1)↑2))
6151, 60breqtrrd 3790 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(1 − 1))))
6238adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
63 peano2nn 7926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6463adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
6562, 64ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
6665rpred 8622 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6766resqcld 9406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℝ)
6833adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6967, 68resubcld 7379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7069adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
7138ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
7271rpred 8622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7372resqcld 9406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
7473, 68resubcld 7379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
75 4re 7992 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
7675a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ)
77 4pos 8013 . . . . . . . . . . . 12 0 < 4
7877a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 4)
7976, 78elrpd 8620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 4 ∈ ℝ+)
8074, 79rerpdivcld 8654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8180adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ∈ ℝ)
8243adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
83 nnz 8264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
84 peano2zm 8283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8583, 84syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8685adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
8779, 86rpexpcld 9404 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
8882, 87rerpdivcld 8654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
8988, 79rerpdivcld 8654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9089adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) ∈ ℝ)
9136, 33, 37resqrexlemcalc2 9613 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9291adantr 261 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4))
9374, 88, 79lediv1d 8669 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ↔ ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4)))
9493biimpa 280 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) / 4) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9570, 81, 90, 92, 94letrd 7138 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4))
9647ad2antrr 457 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
9787adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
9897rpcnd 8624 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9954a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℂ)
10097rpap0d 8628 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑(𝑘 − 1)) # 0)
10179adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 ∈ ℝ+)
102101rpap0d 8628 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 4 # 0)
10396, 98, 99, 100, 102divdivap1d 7796 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
104 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
105104nncnd 7928 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 pncan1 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
108107oveq2d 5528 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
109108adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = (4↑𝑘))
110 simplr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
111 expm1t 9283 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
11254, 110, 111sylancr 393 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑𝑘) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
113109, 112eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (4↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((4↑(𝑘 − 1)) · 4))
114113oveq2d 5528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) / ((4↑(𝑘 − 1)) · 4)))
115103, 114eqtr4d 2075 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) / 4) = (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
11695, 115breqtrd 3788 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))
117116ex 108 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1)))))
118117expcom 109 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
119118a2d 23 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1)))) → (𝜑 → (((𝐹‘(𝑘 + 1))↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑((𝑘 + 1) − 1))))))
1208, 16, 24, 32, 61, 119nnind 7930 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1)))))
121120impcom 116 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  -cneg 7183   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  4c4 7966  ℤcz 8245  ℝ+crp 8583  seqcseq 9211  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by:  resqrexlemnmsq  9615  resqrexlemga  9621
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