Theorem mulextsr1lem 6864

Description: Lemma for mulextsr1 6865. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mulextsr1lem	⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Proof of Theorem mulextsr1lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcomprg 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2	1	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
3		addclpr 6635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
4	3	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
5		simp2l 930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑍 ∈ P)
6		simp3r 933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑉 ∈ P)
7		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
8	5, 6, 7	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑉) ∈ P)
9		simp1r 929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑌 ∈ P)
10		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
11	9, 6, 10	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑉) ∈ P)
12	4, 8, 11	caovcld 5654	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) ∈ P)
13		simp1l 928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑋 ∈ P)
14		simp3l 932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑈 ∈ P)
15		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
16	13, 14, 15	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑈) ∈ P)
17		simp2r 931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → 𝑊 ∈ P)
18		mulclpr 6670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
19	17, 14, 18	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑈) ∈ P)
20	4, 16, 19	caovcld 5654	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) ∈ P)
21	2, 12, 20	caovcomd 5657	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
22		addassprg 6677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
23	22	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ)))
24	16, 11, 8, 2, 23, 19, 4	caov411d 5686	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈))))
25		distrprg 6686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
26	25	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ)))
27		mulcomprg 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
28	27	adantl 262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
29	26, 13, 17, 14, 4, 28	caovdir2d 5677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = ((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)))
30	26, 5, 9, 6, 4, 28	caovdir2d 5677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉)))
31	29, 30	oveq12d 5530	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)) = (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑉))))
32	21, 24, 31	3eqtr4d 2082	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈))) = (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)))
33		mulclpr 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
34	13, 6, 33	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 ·P 𝑉) ∈ P)
35		mulclpr 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
36	9, 14, 35	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑌 ·P 𝑈) ∈ P)
37		mulclpr 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
38	5, 14, 37	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 ·P 𝑈) ∈ P)
39		mulclpr 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
40	17, 6, 39	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑊 ·P 𝑉) ∈ P)
41	34, 36, 38, 2, 23, 40, 4	caov411d 5686	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
42	26, 5, 9, 14, 4, 28	caovdir2d 5677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)))
43	26, 13, 17, 6, 4, 28	caovdir2d 5677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉)))
44	42, 43	oveq12d 5530	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) = (((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑉))))
45	41, 44	eqtr4d 2075	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) = (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)))
46	32, 45	breq12d 3777	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) ↔ (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
47	29, 20	eqeltrd 2114	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P)
48	30, 12	eqeltrd 2114	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P)
49		addclpr 6635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
50	5, 9, 49	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) ∈ P)
51		mulclpr 6670	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
52	50, 14, 51	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P)
53		addclpr 6635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
54	13, 17, 53	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) ∈ P)
55		mulclpr 6670	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
56	54, 6, 55	syl2anc 391	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)
57		addextpr 6719	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) ∈ P) ∧ (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∈ P ∧ ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
58	47, 48, 52, 56, 57	syl22anc 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉))))
59		mulcomprg 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
60	59	3adant2 923	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
61		mulcomprg 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
62	61	3adant1 922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) = (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
63	60, 62	breq12d 3777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ↔ (𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌))))
64		ltmprr 6740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → ((𝑈 ·P (𝑋 +P 𝑊))<P (𝑈 ·P (𝑍 +P 𝑌)) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
65	63, 64	sylbid 139	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ (𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑈 ∈ P) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
66	54, 50, 14, 65	syl3anc 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) → (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌)))
67		mulcomprg 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
68	50, 6, 67	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌)))
69		mulcomprg 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
70	54, 6, 69	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) = (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)))
71	68, 70	breq12d 3777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) ↔ (𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊))))
72		ltmprr 6740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 +P 𝑌) ∈ P ∧ (𝑋 +P 𝑊) ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
73	50, 54, 6, 72	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑉 ·P (𝑍 +P 𝑌))<P (𝑉 ·P (𝑋 +P 𝑊)) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
74	71, 73	sylbid 139	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉) → (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)))
75	66, 74	orim12d 700	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈)<P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) ∨ ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉)<P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
76	58, 75	syld 40	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑈) +P ((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑉))<P (((𝑍 +P 𝑌) ·P 𝑈) +P ((𝑋 +P 𝑊) ·P 𝑉)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
77	46, 76	sylbid 139	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊))))
78		addcomprg 6676	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
79	5, 9, 78	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑍 +P 𝑌) = (𝑌 +P 𝑍))
80	79	breq2d 3776	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ↔ (𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍)))
81		addcomprg 6676	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
82	13, 17, 81	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (𝑋 +P 𝑊) = (𝑊 +P 𝑋))
83	82	breq2d 3776	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊) ↔ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋)))
84	80, 83	orbi12d 707	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → (((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑍 +P 𝑌) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑋 +P 𝑊)) ↔ ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))
85	77, 84	sylibd 138	1 ⊢ (((𝑋 ∈ P ∧ 𝑌 ∈ P) ∧ (𝑍 ∈ P ∧ 𝑊 ∈ P) ∧ (𝑈 ∈ P ∧ 𝑉 ∈ P)) → ((((𝑋 ·P 𝑈) +P (𝑌 ·P 𝑉)) +P ((𝑍 ·P 𝑉) +P (𝑊 ·P 𝑈)))<P (((𝑋 ·P 𝑉) +P (𝑌 ·P 𝑈)) +P ((𝑍 ·P 𝑈) +P (𝑊 ·P 𝑉))) → ((𝑋 +P 𝑊)<P (𝑌 +P 𝑍) ∨ (𝑍 +P 𝑌)<P (𝑊 +P 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +_P cpp 6391   ·_P cmp 6392  <_P cltp 6393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-iltp 6568

This theorem is referenced by:  mulextsr1  6865