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Theorem ialgcvga 9890
 Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvga.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
algcvga.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvga.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
ialgcvga.s 𝑆𝑉
Assertion
Ref Expression
ialgcvga (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem ialgcvga
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3 𝑁 = (𝐶𝐴)
2 algcvga.3 . . . 4 𝐶:𝑆⟶ℕ0
32ffvelrni 5301 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
41, 3syl5eqel 2124 . 2 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0z 8265 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz1 8477 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾)))
7 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑁))
87fveq2d 5182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
98eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
109imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)))
11 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝑘))
1211fveq2d 5182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
1312eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
1413imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0)))
15 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑅𝑚) = (𝑅‘(𝑘 + 1)))
1615fveq2d 5182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
1716eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
1817imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
19 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐾 → (𝑅𝑚) = (𝑅𝐾))
2019fveq2d 5182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝐾)))
2120eqeq1d 2048 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
2221imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
23 algcvga.1 . . . . . . . . 9 𝐹:𝑆𝑆
24 algcvga.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}), 𝑆)
25 algcvga.4 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
26 ialgcvga.s . . . . . . . . 9 𝑆𝑉
2723, 24, 2, 25, 1, 26ialgcvg 9887 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
2827a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
29 nn0ge0 8207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3029adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
31 nn0re 8190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
32 zre 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
33 0re 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
34 letr 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3533, 34mp3an1 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3631, 32, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3730, 36mpand 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
38 elnn0z 8258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
3938simplbi2 367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4039adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4137, 40syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
424, 41sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
4342impr 361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4443expcom 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
45443adant1 922 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
4645ancld 308 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0)))
47 nn0uz 8507 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
48 0zd 8257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
49 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
5023a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
5126a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝑆𝑉)
5247, 24, 48, 49, 50, 51ialgrf 9884 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
5352ffvelrnda 5302 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
54 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
5554fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
5655neeq1d 2223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
57 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
5855, 57breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5956, 58imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
6059, 25vtoclga 2619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
6123, 2algcvgb 9889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))))
62 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6361, 62syl6bi 152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)))
6460, 63mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6553, 64syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6647, 24, 48, 49, 50, 51ialgrp1 9885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
6766fveq2d 5182 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
6867eqeq1d 2048 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6965, 68sylibrd 158 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
7046, 69syl6 29 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
7170a2d 23 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
7210, 14, 18, 22, 28, 71uzind 8349 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
73723expib 1107 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
746, 73sylbid 139 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
755, 74syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
7675com3r 73 . 2 (𝐴𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
774, 76mpd 13 1 (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343   ∘ ccom 4349  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  1st c1st 5765  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  ialgfx  9891
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