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Theorem sbcfung 4839
Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcfung (A 𝑉 → ([A / x]Fun 𝐹 ↔ Fun A / x𝐹))

Proof of Theorem sbcfung
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbcan 2773 . . 3 ([A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ ([A / x]Rel 𝐹 [A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
2 sbcrel 4341 . . . 4 (A 𝑉 → ([A / x]Rel 𝐹 ↔ Rel A / x𝐹))
3 sbcal 2778 . . . . 5 ([A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ w[A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
4 sbcal 2778 . . . . . . 7 ([A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ y[A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
5 sbcal 2778 . . . . . . . . 9 ([A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z[A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
6 sbcimg 2772 . . . . . . . . . . 11 (A 𝑉 → ([A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ ([A / x](w𝐹y w𝐹z) → [A / x]y = z)))
7 sbcan 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ([A / x](w𝐹y w𝐹z) ↔ ([A / x]w𝐹y [A / x]w𝐹z))
8 sbcbrg 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹yA / xwA / x𝐹A / xy))
9 csbconstg 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xw = w)
10 csbconstg 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xy = y)
119, 10breq12d 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → (A / xwA / x𝐹A / xywA / x𝐹y))
128, 11bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹ywA / x𝐹y))
13 sbcbrg 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹zA / xwA / x𝐹A / xz))
14 csbconstg 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xz = z)
159, 14breq12d 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → (A / xwA / x𝐹A / xzwA / x𝐹z))
1613, 15bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹zwA / x𝐹z))
1712, 16anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13 (A 𝑉 → (([A / x]w𝐹y [A / x]w𝐹z) ↔ (wA / x𝐹y wA / x𝐹z)))
187, 17syl5bb 181 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝑉 → ([A / x](w𝐹y w𝐹z) ↔ (wA / x𝐹y wA / x𝐹z)))
19 sbcg 2795 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝑉 → ([A / x]y = zy = z))
2018, 19imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11 (A 𝑉 → (([A / x](w𝐹y w𝐹z) → [A / x]y = z) ↔ ((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
216, 20bitrd 177 . . . . . . . . . 10 (A 𝑉 → ([A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ ((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2221albidv 1678 . . . . . . . . 9 (A 𝑉 → (z[A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
235, 22syl5bb 181 . . . . . . . 8 (A 𝑉 → ([A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2423albidv 1678 . . . . . . 7 (A 𝑉 → (y[A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ yz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
254, 24syl5bb 181 . . . . . 6 (A 𝑉 → ([A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ yz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2625albidv 1678 . . . . 5 (A 𝑉 → (w[A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
273, 26syl5bb 181 . . . 4 (A 𝑉 → ([A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
282, 27anbi12d 442 . . 3 (A 𝑉 → (([A / x]Rel 𝐹 [A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z))))
291, 28syl5bb 181 . 2 (A 𝑉 → ([A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z))))
30 dffun2 4827 . . 3 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
3130sbcbii 2786 . 2 ([A / x]Fun 𝐹[A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
32 dffun2 4827 . 2 (Fun A / x𝐹 ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
3329, 31, 323bitr4g 212 1 (A 𝑉 → ([A / x]Fun 𝐹 ↔ Fun A / x𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1221   wcel 1366  [wsbc 2732  csb 2820   class class class wbr 3727  Rel wrel 4265  Fun wfun 4811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-fun 4819
This theorem is referenced by:  sbcfng  4958
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