ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbcfung Structured version   GIF version

Theorem sbcfung 4868
Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcfung (A 𝑉 → ([A / x]Fun 𝐹 ↔ Fun A / x𝐹))

Proof of Theorem sbcfung
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbcan 2799 . . 3 ([A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ ([A / x]Rel 𝐹 [A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
2 sbcrel 4369 . . . 4 (A 𝑉 → ([A / x]Rel 𝐹 ↔ Rel A / x𝐹))
3 sbcal 2804 . . . . 5 ([A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ w[A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
4 sbcal 2804 . . . . . . 7 ([A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ y[A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
5 sbcal 2804 . . . . . . . . 9 ([A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z[A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z))
6 sbcimg 2798 . . . . . . . . . . 11 (A 𝑉 → ([A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ ([A / x](w𝐹y w𝐹z) → [A / x]y = z)))
7 sbcan 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ([A / x](w𝐹y w𝐹z) ↔ ([A / x]w𝐹y [A / x]w𝐹z))
8 sbcbrg 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹yA / xwA / x𝐹A / xy))
9 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xw = w)
10 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xy = y)
119, 10breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → (A / xwA / x𝐹A / xywA / x𝐹y))
128, 11bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹ywA / x𝐹y))
13 sbcbrg 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹zA / xwA / x𝐹A / xz))
14 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A 𝑉A / xz = z)
159, 14breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A 𝑉 → (A / xwA / x𝐹A / xzwA / x𝐹z))
1613, 15bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14 (A 𝑉 → ([A / x]w𝐹zwA / x𝐹z))
1712, 16anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13 (A 𝑉 → (([A / x]w𝐹y [A / x]w𝐹z) ↔ (wA / x𝐹y wA / x𝐹z)))
187, 17syl5bb 181 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝑉 → ([A / x](w𝐹y w𝐹z) ↔ (wA / x𝐹y wA / x𝐹z)))
19 sbcg 2821 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝑉 → ([A / x]y = zy = z))
2018, 19imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11 (A 𝑉 → (([A / x](w𝐹y w𝐹z) → [A / x]y = z) ↔ ((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
216, 20bitrd 177 . . . . . . . . . 10 (A 𝑉 → ([A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ ((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2221albidv 1702 . . . . . . . . 9 (A 𝑉 → (z[A / x]((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
235, 22syl5bb 181 . . . . . . . 8 (A 𝑉 → ([A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ z((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2423albidv 1702 . . . . . . 7 (A 𝑉 → (y[A / x]z((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ yz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
254, 24syl5bb 181 . . . . . 6 (A 𝑉 → ([A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ yz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
2625albidv 1702 . . . . 5 (A 𝑉 → (w[A / x]yz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
273, 26syl5bb 181 . . . 4 (A 𝑉 → ([A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z) ↔ wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
282, 27anbi12d 442 . . 3 (A 𝑉 → (([A / x]Rel 𝐹 [A / x]wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z))))
291, 28syl5bb 181 . 2 (A 𝑉 → ([A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)) ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z))))
30 dffun2 4855 . . 3 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
3130sbcbii 2812 . 2 ([A / x]Fun 𝐹[A / x](Rel 𝐹 wyz((w𝐹y w𝐹z) → y = z)))
32 dffun2 4855 . 2 (Fun A / x𝐹 ↔ (Rel A / x𝐹 wyz((wA / x𝐹y wA / x𝐹z) → y = z)))
3329, 31, 323bitr4g 212 1 (A 𝑉 → ([A / x]Fun 𝐹 ↔ Fun A / x𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   wcel 1390  [wsbc 2758  csb 2846   class class class wbr 3755  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  sbcfng  4987
  Copyright terms: Public domain W3C validator