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Theorem dffun2 4855
Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun2 (Fun A ↔ (Rel A xyz((xAy xAz) → y = z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem dffun2
StepHypRef Expression
1 df-fun 4847 . 2 (Fun A ↔ (Rel A (AA) ⊆ I ))
2 df-id 4021 . . . . . 6 I = {⟨y, z⟩ ∣ y = z}
32sseq2i 2964 . . . . 5 ((AA) ⊆ I ↔ (AA) ⊆ {⟨y, z⟩ ∣ y = z})
4 df-co 4297 . . . . . 6 (AA) = {⟨y, z⟩ ∣ x(yAx xAz)}
54sseq1i 2963 . . . . 5 ((AA) ⊆ {⟨y, z⟩ ∣ y = z} ↔ {⟨y, z⟩ ∣ x(yAx xAz)} ⊆ {⟨y, z⟩ ∣ y = z})
6 ssopab2b 4004 . . . . 5 ({⟨y, z⟩ ∣ x(yAx xAz)} ⊆ {⟨y, z⟩ ∣ y = z} ↔ yz(x(yAx xAz) → y = z))
73, 5, 63bitri 195 . . . 4 ((AA) ⊆ I ↔ yz(x(yAx xAz) → y = z))
8 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 y V
9 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 x V
108, 9brcnv 4461 . . . . . . . . . . 11 (yAxxAy)
1110anbi1i 431 . . . . . . . . . 10 ((yAx xAz) ↔ (xAy xAz))
1211exbii 1493 . . . . . . . . 9 (x(yAx xAz) ↔ x(xAy xAz))
1312imbi1i 227 . . . . . . . 8 ((x(yAx xAz) → y = z) ↔ (x(xAy xAz) → y = z))
14 19.23v 1760 . . . . . . . 8 (x((xAy xAz) → y = z) ↔ (x(xAy xAz) → y = z))
1513, 14bitr4i 176 . . . . . . 7 ((x(yAx xAz) → y = z) ↔ x((xAy xAz) → y = z))
1615albii 1356 . . . . . 6 (z(x(yAx xAz) → y = z) ↔ zx((xAy xAz) → y = z))
17 alcom 1364 . . . . . 6 (zx((xAy xAz) → y = z) ↔ xz((xAy xAz) → y = z))
1816, 17bitri 173 . . . . 5 (z(x(yAx xAz) → y = z) ↔ xz((xAy xAz) → y = z))
1918albii 1356 . . . 4 (yz(x(yAx xAz) → y = z) ↔ yxz((xAy xAz) → y = z))
20 alcom 1364 . . . 4 (yxz((xAy xAz) → y = z) ↔ xyz((xAy xAz) → y = z))
217, 19, 203bitri 195 . . 3 ((AA) ⊆ I ↔ xyz((xAy xAz) → y = z))
2221anbi2i 430 . 2 ((Rel A (AA) ⊆ I ) ↔ (Rel A xyz((xAy xAz) → y = z)))
231, 22bitri 173 1 (Fun A ↔ (Rel A xyz((xAy xAz) → y = z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240  wex 1378  wss 2911   class class class wbr 3755  {copab 3808   I cid 4016  ccnv 4287  ccom 4292  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  dffun4  4856  dffun6f  4858  sbcfung  4868  funcnveq  4905  fliftfun  5379
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