Theorem funcnveq 4905

Description: Another way of expressing that a class is single-rooted. Counterpart to dffun2 4855. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funcnveq	⊢ (Fun ◡A ↔ ∀x∀y∀z((xAy ∧ zAy) → x = z))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem funcnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4646	. . 3 ⊢ Rel ◡A
2		dffun2 4855	. . 3 ⊢ (Fun ◡A ↔ (Rel ◡A ∧ ∀y∀x∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z)))
3	1, 2	mpbiran 846	. 2 ⊢ (Fun ◡A ↔ ∀y∀x∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z))
4		alcom 1364	. 2 ⊢ (∀y∀x∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z) ↔ ∀x∀y∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z))
5		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
6		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
7	5, 6	brcnv 4461	. . . . . 6 ⊢ (y◡Ax ↔ xAy)
8		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
9	5, 8	brcnv 4461	. . . . . 6 ⊢ (y◡Az ↔ zAy)
10	7, 9	anbi12i 433	. . . . 5 ⊢ ((y◡Ax ∧ y◡Az) ↔ (xAy ∧ zAy))
11	10	imbi1i 227	. . . 4 ⊢ (((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z) ↔ ((xAy ∧ zAy) → x = z))
12	11	2albii 1357	. . 3 ⊢ (∀y∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z) ↔ ∀y∀z((xAy ∧ zAy) → x = z))
13	12	albii 1356	. 2 ⊢ (∀x∀y∀z((y◡Ax ∧ y◡Az) → x = z) ↔ ∀x∀y∀z((xAy ∧ zAy) → x = z))
14	3, 4, 13	3bitri 195	1 ⊢ (Fun ◡A ↔ ∀x∀y∀z((xAy ∧ zAy) → x = z))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   class class class wbr 3755  ^◡ccnv 4287  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  imain  4924