Theorem funeu 4852

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃!y A𝐹y)

Distinct variable groups:   y,A   y,𝐹

Allowed substitution hint:   B(y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4845	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 4496	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ A𝐹B) → A ∈ dom 𝐹)
3	1, 2	sylan 267	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → A ∈ dom 𝐹)
4		eldmg 4457	. . . 4 ⊢ (A ∈ dom 𝐹 → (A ∈ dom 𝐹 ↔ ∃y A𝐹y))
5	4	ibi 165	. . 3 ⊢ (A ∈ dom 𝐹 → ∃y A𝐹y)
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃y A𝐹y)
7		funmo 4843	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*y A𝐹y)
8	7	adantr 261	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃*y A𝐹y)
9		df-mo 1886	. . 3 ⊢ (∃*y A𝐹y ↔ (∃y A𝐹y → ∃!y A𝐹y))
10	8, 9	sylib 127	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → (∃y A𝐹y → ∃!y A𝐹y))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃!y A𝐹y)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ∃!weu 1882  ∃*wmo 1883   class class class wbr 3738  dom cdm 4272  Rel wrel 4277  Fun wfun 4823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-fun 4831

This theorem is referenced by:  funeu2  4853  funbrfv  5137