Theorem funeu 4869

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃!y A𝐹y)

Distinct variable groups:   y,A   y,𝐹

Allowed substitution hint:   B(y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4862	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 4512	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ A𝐹B) → A ∈ dom 𝐹)
3	1, 2	sylan 267	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → A ∈ dom 𝐹)
4		eldmg 4473	. . . 4 ⊢ (A ∈ dom 𝐹 → (A ∈ dom 𝐹 ↔ ∃y A𝐹y))
5	4	ibi 165	. . 3 ⊢ (A ∈ dom 𝐹 → ∃y A𝐹y)
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃y A𝐹y)
7		funmo 4860	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*y A𝐹y)
8	7	adantr 261	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃*y A𝐹y)
9		df-mo 1901	. . 3 ⊢ (∃*y A𝐹y ↔ (∃y A𝐹y → ∃!y A𝐹y))
10	8, 9	sylib 127	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → (∃y A𝐹y → ∃!y A𝐹y))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → ∃!y A𝐹y)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898   class class class wbr 3755  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  funeu2  4870  funbrfv  5155