Theorem funbrfv 5155

Description: The second argument of a binary relation on a function is the function's value. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv	⊢ (Fun 𝐹 → (A𝐹B → (𝐹‘A) = B))

Proof of Theorem funbrfv

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 4862	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		brrelex2 4326	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ A𝐹B) → B ∈ V)
3	1, 2	sylan 267	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → B ∈ V)
4		breq2 3759	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (A𝐹y ↔ A𝐹B))
5	4	anbi2d 437	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹y) ↔ (Fun 𝐹 ∧ A𝐹B)))
6		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((𝐹‘A) = y ↔ (𝐹‘A) = B))
7	5, 6	imbi12d 223	. . . 4 ⊢ (y = B → (((Fun 𝐹 ∧ A𝐹y) → (𝐹‘A) = y) ↔ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → (𝐹‘A) = B)))
8		funeu 4869	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹y) → ∃!y A𝐹y)
9		tz6.12-1 5143	. . . . . 6 ⊢ ((A𝐹y ∧ ∃!y A𝐹y) → (𝐹‘A) = y)
10	8, 9	sylan2 270	. . . . 5 ⊢ ((A𝐹y ∧ (Fun 𝐹 ∧ A𝐹y)) → (𝐹‘A) = y)
11	10	anabss7 517	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹y) → (𝐹‘A) = y)
12	7, 11	vtoclg 2607	. . 3 ⊢ (B ∈ V → ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → (𝐹‘A) = B))
13	3, 12	mpcom 32	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A𝐹B) → (𝐹‘A) = B)
14	13	ex 108	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (A𝐹B → (𝐹‘A) = B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  Vcvv 2551   class class class wbr 3755  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  funopfv  5156  fnbrfvb  5157  fvelima  5168  fvi  5173  fmptco  5273  fliftfun  5379  fliftval  5383  tfrlem5  5871