ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbcfung Unicode version

Theorem sbcfung 4868
Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcfung  V  [.  ].
Fun  F  Fun  [_  ]_ F

Proof of Theorem sbcfung
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbcan 2799 . . 3  [.  ]. Rel  F  F  F  [.  ]. Rel  F  [.  ]. F  F
2 sbcrel 4369 . . . 4  V  [.  ].
Rel  F  Rel  [_  ]_ F
3 sbcal 2804 . . . . 5  [.  ]. F  F  [.  ]. F  F
4 sbcal 2804 . . . . . . 7  [.  ]. F  F  [.  ]. F  F
5 sbcal 2804 . . . . . . . . 9  [.  ]. F  F  [.  ]. F  F
6 sbcimg 2798 . . . . . . . . . . 11  V  [.  ]. F  F  [.  ]. F  F  [.  ].
7 sbcan 2799 . . . . . . . . . . . . 13  [.  ]. F  F  [.  ]. F  [.  ]. F
8 sbcbrg 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15  V  [.  ]. F  [_  ]_ [_  ]_ F [_  ]_
9 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  V  [_  ]_
10 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  V  [_  ]_
119, 10breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15  V  [_  ]_ [_  ]_ F [_  ]_  [_  ]_ F
128, 11bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14  V  [.  ]. F  [_  ]_ F
13 sbcbrg 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15  V  [.  ]. F  [_  ]_ [_  ]_ F [_  ]_
14 csbconstg 2858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  V  [_  ]_
159, 14breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15  V  [_  ]_ [_  ]_ F [_  ]_  [_  ]_ F
1613, 15bitrd 177 . . . . . . . . . . . . . 14  V  [.  ]. F  [_  ]_ F
1712, 16anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13  V  [.  ]. F  [.  ]. F 
[_  ]_ F  [_  ]_ F
187, 17syl5bb 181 . . . . . . . . . . . 12  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
19 sbcg 2821 . . . . . . . . . . . 12  V  [.  ].
2018, 19imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  V  [.  ]. F  F  [.  ].  [_  ]_ F  [_  ]_ F
216, 20bitrd 177 . . . . . . . . . 10  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
2221albidv 1702 . . . . . . . . 9  V  [.  ]. F  F 
[_  ]_ F  [_  ]_ F
235, 22syl5bb 181 . . . . . . . 8  V  [.  ]. F  F 
[_  ]_ F  [_  ]_ F
2423albidv 1702 . . . . . . 7  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
254, 24syl5bb 181 . . . . . 6  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
2625albidv 1702 . . . . 5  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
273, 26syl5bb 181 . . . 4  V  [.  ]. F  F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
282, 27anbi12d 442 . . 3  V  [.  ].
Rel  F  [.  ]. F  F  Rel  [_  ]_ F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
291, 28syl5bb 181 . 2  V  [.  ]. Rel  F  F  F  Rel  [_  ]_ F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
30 dffun2 4855 . . 3  Fun 
F  Rel  F  F  F
3130sbcbii 2812 . 2  [.  ]. Fun  F 
[.  ]. Rel  F  F  F
32 dffun2 4855 . 2  Fun  [_  ]_ F  Rel  [_  ]_ F  [_  ]_ F  [_  ]_ F
3329, 31, 323bitr4g 212 1  V  [.  ].
Fun  F  Fun  [_  ]_ F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wcel 1390   [.wsbc 2758   [_csb 2846   class class class wbr 3755   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  sbcfng  4987
  Copyright terms: Public domain W3C validator