Theorem sbcfung 4925

Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcfung	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcan 2805	. . 3 |- ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
2		sbcrel 4426	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Rel F <-> Rel [_ A / x ]_ F ) )
3		sbcal 2810	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
4		sbcal 2810	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
5		sbcal 2810	. . . . . . . . 9 |- ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
6		sbcimg 2804	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) ) )
7		sbcan 2805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) )
8		sbcbrg 3813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y ) )
9		csbconstg 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ w = w )
10		csbconstg 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ y = y )
11	9, 10	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
12	8, 11	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
13		sbcbrg 3813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z ) )
14		csbconstg 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ z = z )
15	9, 14	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
16	13, 15	bitrd 177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
17	12, 16	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
18	7, 17	syl5bb 181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
19		sbcg 2827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y = z <-> y = z ) )
20	18, 19	imbi12d 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
21	6, 20	bitrd 177	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
22	21	albidv 1705	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
23	5, 22	syl5bb 181	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
24	23	albidv 1705	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
25	4, 24	syl5bb 181	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
26	25	albidv 1705	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
27	3, 26	syl5bb 181	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
28	2, 27	anbi12d 442	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
29	1, 28	syl5bb 181	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
30		dffun2 4912	. . 3 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
31	30	sbcbii 2818	. 2 |- ( [. A / x ]. Fun F <-> [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
32		dffun2 4912	. 2 |- ( Fun [_ A / x ]_ F <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
33	29, 31, 32	3bitr4g 212	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   e. wcel 1393   [.wsbc 2764   [_csb 2852   class class class wbr 3764   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  sbcfng  5044