Theorem ltnnnq 6521

Description: Ordering of positive integers via <_N or <_Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ N)
2		1pi 6413	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 1𝑜 ∈ N)
4		simpr 103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ N)
5		ordpipqqs 6472	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ↔ (𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵)))
7		mulidpi 6416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 1𝑜) = 𝐴)
9		mulcompig 6429	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
10	2, 4, 9	sylancr 393	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 1𝑜))
11		mulidpi 6416	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
12	4, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 1𝑜) = 𝐵)
13	10, 12	eqtrd 2072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (1𝑜 ·N 𝐵) = 𝐵)
14	8, 13	breq12d 3777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 1𝑜) <N (1𝑜 ·N 𝐵) ↔ 𝐴 <N 𝐵))
15	6, 14	bitr2d 178	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨𝐵, 1𝑜⟩] ~Q ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  1_𝑜c1o 5994  [cec 6104  Ncnpi 6370   ·_N cmi 6372   <_N clti 6373   ~_Q ceq 6377   <_Q cltq 6383

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  6763  caucvgprprlemk  6781  ltrennb  6930