ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnnnq Unicode version

Theorem ltnnnq 6521
Description: Ordering of positive integers via  <N or  <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltnnnq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )

Proof of Theorem ltnnnq
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
2 1pi 6413 . . . 4  |-  1o  e.  N.
32a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  1o  e.  N. )
4 simpr 103 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  N. )
5 ordpipqqs 6472 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  B ) ) )
61, 3, 4, 3, 5syl22anc 1136 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B ) ) )
7 mulidpi 6416 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
9 mulcompig 6429 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
102, 4, 9sylancr 393 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
11 mulidpi 6416 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
124, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
1310, 12eqtrd 2072 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  B )
148, 13breq12d 3777 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B )  <->  A  <N  B ) )
156, 14bitr2d 178 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   [cec 6104   N.cnpi 6370    .N cmi 6372    <N clti 6373    ~Q ceq 6377    <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-lti 6405  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  6763  caucvgprprlemk  6781  ltrennb  6930
  Copyright terms: Public domain W3C validator