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Theorem cvg1nlemres 9584
 Description: Lemma for cvg1n 9585. The original sequence 𝐹 has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence 𝐺). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start (𝜑𝐶 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
cvg1nlemres (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑘   𝐶,𝑛,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘,𝑛   𝑖,𝐺,𝑦,𝑘   𝑛,𝐺   𝑥,𝐺,𝑖,𝑦   𝑖,𝑍,𝑗,𝑘   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗   𝜑,𝑘,𝑛   𝑥,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑖)   𝐺(𝑗)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvg1nlemres
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
2 cvg1n.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 cvg1n.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4 cvg1nlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
5 cvg1nlem.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ ℕ)
6 cvg1nlem.start . . . 4 (𝜑𝐶 < 𝑍)
71, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemf 9582 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
81, 2, 3, 4, 5, 6cvg1nlemcau 9583 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐺𝑛) < ((𝐺𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑛) + (1 / 𝑛))))
97, 8caucvgre 9580 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
10 fveq2 5178 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑤 → (ℤ𝑎) = (ℤ𝑤))
1110raleqdv 2511 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑤 → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))))
1211cbvrexv 2534 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
1312ralbii 2330 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
1413anbi2i 430 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))))
1514anbi1i 431 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+))
16 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1716rphalfcld 8635 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
18 simplr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)))
19 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 + 𝑐) = (𝑦 + (𝑥 / 2)))
2019breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ↔ (𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
21 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑏) + 𝑐) = ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))
2221breq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐) ↔ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
2320, 22anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))))
2423rexralbidv 2350 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝑥 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))))
2524rspcv 2652 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)))))
2617, 18, 25sylc 56 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
2715, 26sylbir 125 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
282rpred 8622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2928ad4antr 463 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝐶 ∈ ℝ)
30 2re 7985 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
3130a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 2 ∈ ℝ)
3229, 31remulcld 7056 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ)
33 simplr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3432, 33rerpdivcld 8654 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ)
355ad4antr 463 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 7963 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
37 simprl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℕ)
3837nnred 7927 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
3936, 38readdcld 7055 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
40 arch 8178 . . . . . . . . 9 (((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
4139, 40syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
42 simprl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℕ)
4335adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑍 ∈ ℕ)
4442, 43nnmulcld 7962 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
451ad6antr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
46 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℕ)
475ad6antr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℕ)
4846, 47nnmulcld 7962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
49 eluznn 8538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5048, 49sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
5145, 50ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
5245, 48ffvelrnd 5303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
5333ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
5453rpred 8622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
5554rehalfcld 8171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
5652, 55readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
57 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
5857ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5958, 55readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
6059, 55readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
6128ad6antr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6261, 48nndivred 7963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
6352, 62readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
64 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
653ad6antr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
66 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ𝑛) = (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
67 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
68 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))
6968oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
7067, 69breq12d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
7167, 68oveq12d 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
7271breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
7370, 72anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
7466, 73raleqbidv 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
7574rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
7648, 65, 75sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
77 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
7877oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) = ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
7978breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
8077breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
8179, 80anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
8281rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
8364, 76, 82sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
8483simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
85 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8685ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8786rpred 8622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8887rehalfcld 8171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
892ad6antr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9037ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℕ)
91 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
9289, 86, 47, 46, 90, 91cvg1nlemcxze 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) < (𝑥 / 2))
9362, 88, 92ltled 7135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ≤ (𝑥 / 2))
9462, 55, 52, 93leadd2dd 7551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
9551, 63, 56, 84, 94ltletrd 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
9690nnred 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℝ)
9746nnred 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℝ)
98 2rp 8588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
9998a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 2 ∈ ℝ+)
10089, 99rpmulcld 8639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ+)
101100, 86rpdivcld 8640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ+)
10247nnrpd 8621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
103101, 102rpdivcld 8640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ+)
104103rpred 8622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
105104, 96readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
10696, 103ltaddrp2d 8657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎))
10796, 105, 97, 106, 91lttrd 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < 𝑒)
10896, 97, 107ltled 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎𝑒)
10990nnzd 8359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11046nnzd 8359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℤ)
111 eluz 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑒))
112109, 110, 111syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑒))
113108, 112mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ (ℤ𝑎))
114 simprr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
115114ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))
116 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑒 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑒))
117116breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
118116oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)) = ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)))
119118breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑒 → (𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))))
120117, 119anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑒 → (((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)))))
121120rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (ℤ𝑎) → (∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))) → ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)))))
122113, 115, 121sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))))
123 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑒 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑒 · 𝑍))
124123fveq2d 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑒 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
125124, 4fvmptg 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
12646, 52, 125syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐺𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
127126breq1d 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
128126oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
129128breq2d 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
130127, 129anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐺𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑒) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))))
131122, 130mpbid 135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
132131simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)))
13352, 59, 55, 132ltadd1dd 7547 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
13451, 56, 60, 95, 133lttrd 7140 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
13558recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℂ)
13655recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
137135, 136, 136addassd 7049 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
138134, 137breqtrd 3788 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
13953rpcnd 8624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1401392halvesd 8170 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
141140oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = (𝑦 + 𝑥))
142138, 141breqtrd 3788 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥))
14351, 55readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
144143, 55readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
145131simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
14651, 62readdcld 7055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
14783simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
14862, 55, 51, 93leadd2dd 7551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)))
14952, 146, 143, 147, 148ltletrd 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)))
15052, 143, 55, 149ltadd1dd 7547 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
15158, 56, 144, 145, 150lttrd 7140 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
15251recnd 7054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
153152, 136, 136addassd 7049 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
154151, 153breqtrd 3788 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
155140oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = ((𝐹𝑖) + 𝑥))
156154, 155breqtrd 3788 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))
157142, 156jca 290 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
158157ralrimiva 2392 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
159 fveq2 5178 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑒 · 𝑍)))
160159raleqdv 2511 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
161160rspcev 2656 . . . . . . . . 9 (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16244, 158, 161syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16341, 162rexlimddv 2437 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16427, 163rexlimddv 2437 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑤)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
16515, 164sylbi 114 . . . . 5 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
166165ralrimiva 2392 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
167166ex 108 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
168167reximdva 2421 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑎)((𝐺𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥))))
1699, 168mpd 13 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℝcr 6888   + caddc 6892   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   / cdiv 7651  ℕcn 7914  2c2 7964  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  ℝ+crp 8583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584 This theorem is referenced by:  cvg1n  9585
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