cvg1nlemres - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > cvg1nlemres		GIF version

Theorem cvg1nlemres 9584

Description: Lemma for cvg1n 9585. The original sequence 𝐹 has a limit (turns out it is the same as the limit of the modified sequence 𝐺). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
cvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
cvg1nlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
cvg1nlem.start	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)

**Assertion**
Ref	Expression
cvg1nlemres	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups: 𝐶,𝑖,𝑘 𝐶,𝑛,𝑘 𝑗,𝐹,𝑘,𝑛 𝑖,𝐺,𝑦,𝑘 𝑛,𝐺 𝑥,𝐺,𝑖,𝑦 𝑖,𝑍,𝑗,𝑘 𝑛,𝑍 𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗 𝜑,𝑘,𝑛 𝑥,𝑗,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥,𝑦,𝑗) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑖) 𝐺(𝑗) 𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cvg1nlemres Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2		cvg1n.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
3		cvg1n.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
4		cvg1nlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)))
5		cvg1nlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℕ)
6		cvg1nlem.start	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑍)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemf 9582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvg1nlemcau 9583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐺‘𝑛) < ((𝐺‘𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑛) + (1 / 𝑛))))
9	7, 8	caucvgre 9580	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
10		fveq2 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (ℤ_≥‘𝑎) = (ℤ_≥‘𝑤))
11	10	raleqdv 2511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑤 → (∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))))
12	11	cbvrexv 2534	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
13	12	ralbii 2330	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
14	13	anbi2i 430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))))
15	14	anbi1i 431	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺))
16		simpr 103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
17	16	rphalfcld 8635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺)
18		simplr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)))
19		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 + 𝑐) = (𝑦 + (𝑥 / 2)))
20	19	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ↔ (𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
21		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑏) + 𝑐) = ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))
22	21	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐) ↔ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
23	20, 22	anbi12d 442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))))
24	23	rexralbidv 2350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑥 / 2) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))))
25	24	rspcv 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)))))
26	17, 18, 25	sylc 56	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
27	15, 26	sylbir 125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
28	2	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
29	28	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝐶 ∈ ℝ)
30		2re 7985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 2 ∈ ℝ)
32	29, 31	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ)
33		simplr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
34	32, 33	rerpdivcld 8654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ)
35	5	ad4antr 463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℕ)
36	34, 35	nndivred 7963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
37		simprl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℕ)
38	37	nnred 7927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → 𝑎 ∈ ℝ)
39	36, 38	readdcld 7055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
40		arch 8178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑒 ∈ ℕ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
42		simprl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℕ)
43	35	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → 𝑍 ∈ ℕ)
44	42, 43	nnmulcld 7962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
45	1	ad6antr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
46		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℕ)
47	5	ad6antr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℕ)
48	46, 47	nnmulcld 7962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ)
49		eluznn 8538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
50	48, 49	sylancom 397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ ℕ)
51	45, 50	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
52	45, 48	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
53	33	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
54	53	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
55	54	rehalfcld 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
56	52, 55	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
57		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	57	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℝ)
59	58, 55	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
60	59, 55	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
61	28	ad6antr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	61, 48	nndivred 7963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ)
63	52, 62	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
64		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
65	3	ad6antr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
66		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ_≥‘𝑛) = (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
67		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
68		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (𝐶 / 𝑛) = (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))
69	68	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
70	67, 69	breq12d 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
71	67, 68	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
72	71	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛)) ↔ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
73	70, 72	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
74	66, 73	raleqbidv 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
75	74	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
76	48, 65, 75	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
77		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
78	77	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) = ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
79	78	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
80	77	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ↔ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
81	79, 80	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
82	81	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))))
83	64, 76, 82	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∧ (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)))))
84	83	simprd 107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
85		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
86	85	ad3antrrr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
87	86	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℝ)
88	87	rehalfcld 8171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
89	2	ad6antr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
90	37	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℕ)
91		simplrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)
92	89, 86, 47, 46, 90, 91	cvg1nlemcxze 9581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) < (𝑥 / 2))
93	62, 88, 92	ltled 7135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 / (𝑒 · 𝑍)) ≤ (𝑥 / 2))
94	62, 55, 52, 93	leadd2dd 7551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
95	51, 63, 56, 84, 94	ltletrd 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
96	90	nnred 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℝ)
97	46	nnred 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℝ)
98		2rp 8588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
99	98	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 2 ∈ ℝ⁺)
100	89, 99	rpmulcld 8639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐶 · 2) ∈ ℝ⁺)
101	100, 86	rpdivcld 8640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐶 · 2) / 𝑥) ∈ ℝ⁺)
102	47	nnrpd 8621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑍 ∈ ℝ⁺)
103	101, 102	rpdivcld 8640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ⁺)
104	103	rpred 8622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) ∈ ℝ)
105	104, 96	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) ∈ ℝ)
106	96, 103	ltaddrp2d 8657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎))
107	96, 105, 97, 106, 91	lttrd 7140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 < 𝑒)
108	96, 97, 107	ltled 7135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ≤ 𝑒)
109	90	nnzd 8359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑎 ∈ ℤ)
110	46	nnzd 8359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ ℤ)
111		eluz 8486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑒))
112	109, 110, 111	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎) ↔ 𝑎 ≤ 𝑒))
113	108, 112	mpbird 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎))
114		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
115	114	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))
116		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑒))
117	116	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
118	116	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)) = ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)))
119	118	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))))
120	117, 119	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)))))
121	120	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘𝑎) → (∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))) → ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)))))
122	113, 115, 121	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))))
123		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑒 → (𝑗 · 𝑍) = (𝑒 · 𝑍))
124	123	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑒 → (𝐹‘(𝑗 · 𝑍)) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
125	124, 4	fvmptg 5248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑒 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
126	46, 52, 125	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐺‘𝑒) = (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)))
127	126	breq1d 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ↔ (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2))))
128	126	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
129	128	breq2d 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2)) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
130	127, 129	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐺‘𝑒) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑒) + (𝑥 / 2))) ↔ ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))))
131	122, 130	mpbid 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2))))
132	131	simpld 105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < (𝑦 + (𝑥 / 2)))
133	52, 59, 55, 132	ltadd1dd 7547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
134	51, 56, 60, 95, 133	lttrd 7140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
135	58	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 ∈ ℂ)
136	55	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
137	135, 136, 136	addassd 7049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑦 + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
138	134, 137	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
139	53	rpcnd 8624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑥 ∈ ℂ)
140	139	2halvesd 8170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
141	140	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝑦 + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = (𝑦 + 𝑥))
142	138, 141	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥))
143	51, 55	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
144	143, 55	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
145	131	simprd 107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)))
146	51, 62	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ∈ ℝ)
147	83	simpld 105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))))
148	62, 55, 51, 93	leadd2dd 7551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + (𝐶 / (𝑒 · 𝑍))) ≤ ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)))
149	52, 146, 143, 147, 148	ltletrd 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) < ((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)))
150	52, 143, 55, 149	ltadd1dd 7547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘(𝑒 · 𝑍)) + (𝑥 / 2)) < (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
151	58, 56, 144, 145, 150	lttrd 7140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)))
152	51	recnd 7054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
153	152, 136, 136	addassd 7049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → (((𝐹‘𝑖) + (𝑥 / 2)) + (𝑥 / 2)) = ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
154	151, 153	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))))
155	140	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) + ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2))) = ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
156	154, 155	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))
157	142, 156	jca 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))) → ((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
158	157	ralrimiva 2392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
159		fveq2 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍)))
160	159	raleqdv 2511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑒 · 𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
161	160	rspcev 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑒 · 𝑍) ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(𝑒 · 𝑍))((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
162	44, 158, 161	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ ((((𝐶 · 2) / 𝑥) / 𝑍) + 𝑎) < 𝑒)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
163	41, 162	rexlimddv 2437	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + (𝑥 / 2)) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + (𝑥 / 2))))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
164	27, 163	rexlimddv 2437	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑤 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑤)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
165	15, 164	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
166	165	ralrimiva 2392	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐))) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
167	166	ex 108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) → ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
168	167	reximdva 2421	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑐 ∈ ℝ⁺ ∃𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ (ℤ_≥‘𝑎)((𝐺‘𝑏) < (𝑦 + 𝑐) ∧ 𝑦 < ((𝐺‘𝑏) + 𝑐)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥))))
169	9, 168	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 97 ↔ wb 98 = wceq 1243 ∈ wcel 1393 ∀wral 2306 ∃wrex 2307 class class class wbr 3764 ↦ cmpt 3818 ⟶wf 4898 ‘cfv 4902 (class class class)co 5512 ℝcr 6888 + caddc 6892 · cmul 6894 < clt 7060 ≤ cle 7061 / cdiv 7651 ℕcn 7914 2c2 7964 ℤcz 8245 ℤ_≥cuz 8473 ℝ⁺crp 8583

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-mulrcl 6983 ax-addcom 6984 ax-mulcom 6985 ax-addass 6986 ax-mulass 6987 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-1rid 6991 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-precex 6994 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-apti 6999 ax-pre-ltadd 7000 ax-pre-mulgt0 7001 ax-pre-mulext 7002 ax-arch 7003 ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rmo 2314 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-xr 7064 df-ltxr 7065 df-le 7066 df-sub 7184 df-neg 7185 df-reap 7566 df-ap 7573 df-div 7652 df-inn 7915 df-2 7973 df-n0 8182 df-z 8246 df-uz 8474 df-rp 8584

This theorem is referenced by: cvg1n 9585

W3C validator