Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp1a Structured version   GIF version

Theorem leexp1a 8963
 Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a (((A B 𝑁 0) (0 ≤ A AB)) → (A𝑁) ≤ (B𝑁))

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (A𝑗) = (A↑0))
2 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (B𝑗) = (B↑0))
31, 2breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((A𝑗) ≤ (B𝑗) ↔ (A↑0) ≤ (B↑0)))
43imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑗) ≤ (B𝑗)) ↔ (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A↑0) ≤ (B↑0))))
5 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (A𝑗) = (A𝑘))
6 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (B𝑗) = (B𝑘))
75, 6breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((A𝑗) ≤ (B𝑗) ↔ (A𝑘) ≤ (B𝑘)))
87imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑗) ≤ (B𝑗)) ↔ (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑘) ≤ (B𝑘))))
9 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A𝑗) = (A↑(𝑘 + 1)))
10 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (B𝑗) = (B↑(𝑘 + 1)))
119, 10breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A𝑗) ≤ (B𝑗) ↔ (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1))))
1211imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑗) ≤ (B𝑗)) ↔ (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1)))))
13 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (A𝑗) = (A𝑁))
14 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (B𝑗) = (B𝑁))
1513, 14breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((A𝑗) ≤ (B𝑗) ↔ (A𝑁) ≤ (B𝑁)))
1615imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑗) ≤ (B𝑗)) ↔ (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑁) ≤ (B𝑁))))
17 recn 6812 . . . . . . 7 (A ℝ → A ℂ)
18 recn 6812 . . . . . . 7 (B ℝ → B ℂ)
19 exp0 8913 . . . . . . . . . 10 (A ℂ → (A↑0) = 1)
2019adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (A↑0) = 1)
21 1le1 7356 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
2220, 21syl6eqbr 3792 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (A↑0) ≤ 1)
23 exp0 8913 . . . . . . . . 9 (B ℂ → (B↑0) = 1)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (B↑0) = 1)
2522, 24breqtrrd 3781 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (A↑0) ≤ (B↑0))
2617, 18, 25syl2an 273 . . . . . 6 ((A B ℝ) → (A↑0) ≤ (B↑0))
2726adantr 261 . . . . 5 (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A↑0) ≤ (B↑0))
28 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → A ℝ)
29 reexpcl 8926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 0) → (A𝑘) ℝ)
3028, 29sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (A𝑘) ℝ)
31 simplll 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → A ℝ)
32 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → 𝑘 0)
33 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → 0 ≤ A)
34 expge0 8945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 0 0 ≤ A) → 0 ≤ (A𝑘))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → 0 ≤ (A𝑘))
36 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → B ℝ)
37 reexpcl 8926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B 𝑘 0) → (B𝑘) ℝ)
3836, 37sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (B𝑘) ℝ)
3930, 35, 38jca31 292 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (((A𝑘) 0 ≤ (A𝑘)) (B𝑘) ℝ))
40 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A B ℝ) → A ℝ)
41 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ≤ A AB) → 0 ≤ A)
4240, 41anim12i 321 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A 0 ≤ A))
4342adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (A 0 ≤ A))
44 simpllr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → B ℝ)
4539, 43, 44jca32 293 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → ((((A𝑘) 0 ≤ (A𝑘)) (B𝑘) ℝ) ((A 0 ≤ A) B ℝ)))
4645adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → ((((A𝑘) 0 ≤ (A𝑘)) (B𝑘) ℝ) ((A 0 ≤ A) B ℝ)))
47 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → (A𝑘) ≤ (B𝑘))
48 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → AB)
4948adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → AB)
5047, 49jca 290 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → ((A𝑘) ≤ (B𝑘) AB))
51 lemul12a 7609 . . . . . . . . . 10 (((((A𝑘) 0 ≤ (A𝑘)) (B𝑘) ℝ) ((A 0 ≤ A) B ℝ)) → (((A𝑘) ≤ (B𝑘) AB) → ((A𝑘) · A) ≤ ((B𝑘) · B)))
5246, 50, 51sylc 56 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → ((A𝑘) · A) ≤ ((B𝑘) · B))
53 expp1 8916 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5417, 53sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5554adantlr 446 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℝ) 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5655adantlr 446 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
5756adantr 261 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
58 expp1 8916 . . . . . . . . . . . . 13 ((B 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
5918, 58sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((B 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
6059adantll 445 . . . . . . . . . . 11 (((A B ℝ) 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
6160adantlr 446 . . . . . . . . . 10 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
6261adantr 261 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → (B↑(𝑘 + 1)) = ((B𝑘) · B))
6352, 57, 623brtr4d 3785 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1)))
6463ex 108 . . . . . . 7 ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) 𝑘 0) → ((A𝑘) ≤ (B𝑘) → (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1))))
6564expcom 109 . . . . . 6 (𝑘 0 → (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → ((A𝑘) ≤ (B𝑘) → (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1)))))
6665a2d 23 . . . . 5 (𝑘 0 → ((((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑘) ≤ (B𝑘)) → (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A↑(𝑘 + 1)) ≤ (B↑(𝑘 + 1)))))
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 8128 . . . 4 (𝑁 0 → (((A B ℝ) (0 ≤ A AB)) → (A𝑁) ≤ (B𝑁)))
6867exp4c 350 . . 3 (𝑁 0 → (A ℝ → (B ℝ → ((0 ≤ A AB) → (A𝑁) ≤ (B𝑁)))))
6968com3l 75 . 2 (A ℝ → (B ℝ → (𝑁 0 → ((0 ≤ A AB) → (A𝑁) ≤ (B𝑁)))))
70693imp1 1116 1 (((A B 𝑁 0) (0 ≤ A AB)) → (A𝑁) ≤ (B𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   ≤ cle 6858  ℕ0cn0 7957  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  expubnd  8965
 Copyright terms: Public domain W3C validator