Theorem leexp1a 8963

Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leexp1a	|- (((A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ N) <_ (B ^ N))

Proof of Theorem leexp1a

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> (A ^ j) = (A ^ 0))
2		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> (B ^ j) = (B ^ 0))
3	1, 2	breq12d 3768	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ((A ^ j) <_ (B ^ j) <-> (A ^ 0) <_ (B ^ 0)))
4	3	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ j) <_ (B ^ j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ 0) <_ (B ^ 0))))
5		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (A ^ j) = (A ^ k))
6		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = k -> (B ^ j) = (B ^ k))
7	5, 6	breq12d 3768	. . . . . 6 |- ( j = k -> ((A ^ j) <_ (B ^ j) <-> (A ^ k) <_ (B ^ k)))
8	7	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = k -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ j) <_ (B ^ j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ k) <_ (B ^ k))))
9		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1) -> (A ^ j) = (A ^( k + 1)))
10		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1) -> (B ^ j) = (B ^( k + 1)))
11	9, 10	breq12d 3768	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1) -> ((A ^ j) <_ (B ^ j) <-> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1))))
12	11	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1) -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ j) <_ (B ^ j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1)))))
13		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = N -> (A ^ j) = (A ^ N))
14		oveq2 5463	. . . . . . 7 |- ( j = N -> (B ^ j) = (B ^ N))
15	13, 14	breq12d 3768	. . . . . 6 |- ( j = N -> ((A ^ j) <_ (B ^ j) <-> (A ^ N) <_ (B ^ N)))
16	15	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = N -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ j) <_ (B ^ j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ N) <_ (B ^ N))))
17		recn 6812	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> A e. CC)
18		recn 6812	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> B e. CC)
19		exp0 8913	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A ^ 0) = 1)
20	19	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A ^ 0) = 1)
21		1le1 7356	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
22	20, 21	syl6eqbr 3792	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A ^ 0) <_ 1)
23		exp0 8913	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (B ^ 0) = 1)
24	23	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (B ^ 0) = 1)
25	22, 24	breqtrrd 3781	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A ^ 0) <_ (B ^ 0))
26	17, 18, 25	syl2an 273	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A ^ 0) <_ (B ^ 0))
27	26	adantr 261	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ 0) <_ (B ^ 0))
28		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> A e. RR)
29		reexpcl 8926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A ^ k) e. RR)
30	28, 29	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (A ^ k) e. RR)
31		simplll 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> A e. RR)
32		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> k e. NN0)
33		simplrl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> 0 <_ A)
34		expge0 8945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A ^ k))
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> 0 <_ (A ^ k))
36		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> B e. RR)
37		reexpcl 8926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B ^ k) e. RR)
38	36, 37	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (B ^ k) e. RR)
39	30, 35, 38	jca31 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (((A ^ k) e. RR /\ 0 <_ (A ^ k)) /\ (B ^ k) e. RR))
40		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> A e. RR)
41		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( 0 <_ A /\ A <_ B) -> 0 <_ A)
42	40, 41	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A e. RR /\ 0 <_ A))
43	42	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (A e. RR /\ 0 <_ A))
44		simpllr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> B e. RR)
45	39, 43, 44	jca32 293	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> ((((A ^ k) e. RR /\ 0 <_ (A ^ k)) /\ (B ^ k) e. RR) /\ ((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR)))
46	45	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> ((((A ^ k) e. RR /\ 0 <_ (A ^ k)) /\ (B ^ k) e. RR) /\ ((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR)))
47		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> (A ^ k) <_ (B ^ k))
48		simplrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> A <_ B)
49	48	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> A <_ B)
50	47, 49	jca 290	. . . . . . . . . 10 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> ((A ^ k) <_ (B ^ k) /\ A <_ B))
51		lemul12a 7609	. . . . . . . . . 10 |- (((((A ^ k) e. RR /\ 0 <_ (A ^ k)) /\ (B ^ k) e. RR) /\ ((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR)) -> (((A ^ k) <_ (B ^ k) /\ A <_ B) -> ((A ^ k) x. A) <_ ((B ^ k) x. B)))
52	46, 50, 51	sylc 56	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> ((A ^ k) x. A) <_ ((B ^ k) x. B))
53		expp1 8916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A ^( k + 1)) = ((A ^ k) x. A))
54	17, 53	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A ^( k + 1)) = ((A ^ k) x. A))
55	54	adantlr 446	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (A ^( k + 1)) = ((A ^ k) x. A))
56	55	adantlr 446	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (A ^( k + 1)) = ((A ^ k) x. A))
57	56	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> (A ^( k + 1)) = ((A ^ k) x. A))
58		expp1 8916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B ^( k + 1)) = ((B ^ k) x. B))
59	18, 58	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B ^( k + 1)) = ((B ^ k) x. B))
60	59	adantll 445	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (B ^( k + 1)) = ((B ^ k) x. B))
61	60	adantlr 446	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (B ^( k + 1)) = ((B ^ k) x. B))
62	61	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> (B ^( k + 1)) = ((B ^ k) x. B))
63	52, 57, 62	3brtr4d 3785	. . . . . . . 8 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1)))
64	63	ex 108	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> ((A ^ k) <_ (B ^ k) -> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1))))
65	64	expcom 109	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> ((A ^ k) <_ (B ^ k) -> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1)))))
66	65	a2d 23	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ k) <_ (B ^ k)) -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^( k + 1)) <_ (B ^( k + 1)))))
67	4, 8, 12, 16, 27, 66	nn0ind 8128	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ N) <_ (B ^ N)))
68	67	exp4c 350	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (A e. RR -> (B e. RR -> (( 0 <_ A /\ A <_ B) -> (A ^ N) <_ (B ^ N)))))
69	68	com3l 75	. 2 |- (A e. RR -> (B e. RR -> ( N e. NN0 -> (( 0 <_ A /\ A <_ B) -> (A ^ N) <_ (B ^ N)))))
70	69	3imp1 1116	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A ^ N) <_ (B ^ N))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712   + caddc 6714   x. cmul 6716   <_ cle 6858   NN0cn0 7957   ^cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  expubnd  8965