ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulextsr1 Structured version   GIF version

Theorem mulextsr1 6517
Description: Strong extensionality of multiplication of signed reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulextsr1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A)))

Proof of Theorem mulextsr1
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6465 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5431 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ))
32breq1d 3737 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R )))
4 breq1 3730 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~RA <R [⟨z, w⟩] ~R ))
5 breq2 3731 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ [⟨z, w⟩] ~R <R A))
64, 5orbi12d 691 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ) ↔ (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A)))
73, 6imbi12d 223 . 2 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )) ↔ ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A))))
8 oveq1 5431 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ))
98breq2d 3739 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R )))
10 breq2 3731 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A <R [⟨z, w⟩] ~RA <R B))
11 breq1 3730 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ([⟨z, w⟩] ~R <R AB <R A))
1210, 11orbi12d 691 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A) ↔ (A <R B B <R A)))
139, 12imbi12d 223 . 2 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A)) ↔ ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R B B <R A))))
14 oveq2 5432 . . . 4 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (A ·R 𝐶))
15 oveq2 5432 . . . 4 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (B ·R 𝐶))
1614, 15breq12d 3740 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶)))
1716imbi1d 220 . 2 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R B B <R A)) ↔ ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A))))
18 mulextsr1lem 6516 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v))) → ((x +P w)<P (y +P z) (z +P y)<P (w +P x))))
19 mulsrpr 6484 . . . . . 6 (((x P y P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R )
20193adant2 905 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R )
21 mulsrpr 6484 . . . . . 6 (((z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R )
22213adant1 904 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R )
2320, 22breq12d 3740 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ))
24 simp1l 910 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → x P)
25 simp3l 914 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → u P)
26 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((x P u P) → (x ·P u) P)
2724, 25, 26syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (x ·P u) P)
28 simp1r 911 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → y P)
29 simp3r 915 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → v P)
30 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((y P v P) → (y ·P v) P)
3128, 29, 30syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (y ·P v) P)
32 addclpr 6378 . . . . . 6 (((x ·P u) P (y ·P v) P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3327, 31, 32syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
34 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((x P v P) → (x ·P v) P)
3524, 29, 34syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (x ·P v) P)
36 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((y P u P) → (y ·P u) P)
3728, 25, 36syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (y ·P u) P)
38 addclpr 6378 . . . . . 6 (((x ·P v) P (y ·P u) P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
3935, 37, 38syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
40 simp2l 912 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → z P)
41 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((z P u P) → (z ·P u) P)
4240, 25, 41syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (z ·P u) P)
43 simp2r 913 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → w P)
44 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((w P v P) → (w ·P v) P)
4543, 29, 44syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (w ·P v) P)
46 addclpr 6378 . . . . . 6 (((z ·P u) P (w ·P v) P) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
4742, 45, 46syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
48 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((z P v P) → (z ·P v) P)
4940, 29, 48syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (z ·P v) P)
50 mulclpr 6402 . . . . . . 7 ((w P u P) → (w ·P u) P)
5143, 25, 50syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (w ·P u) P)
52 addclpr 6378 . . . . . 6 (((z ·P v) P (w ·P u) P) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
54 ltsrprg 6485 . . . . 5 (((((x ·P u) +P (y ·P v)) P ((x ·P v) +P (y ·P u)) P) (((z ·P u) +P (w ·P v)) P ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)) → ([⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
5533, 39, 47, 53, 54syl22anc 1117 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
5623, 55bitrd 177 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
57 ltsrprg 6485 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
58573adant3 906 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
59 ltsrprg 6485 . . . . . 6 (((z P w P) (x P y P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
6059ancoms 255 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
61603adant3 906 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
6258, 61orbi12d 691 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ) ↔ ((x +P w)<P (y +P z) (z +P y)<P (w +P x))))
6318, 56, 623imtr4d 192 . 2 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )))
641, 7, 13, 17, 633ecoptocl 6094 1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 613   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  [cec 6003  Pcnp 6137   +P cpp 6139   ·P cmp 6140  <P cltp 6141   ~R cer 6142  Rcnr 6143   ·R cmr 6148   <R cltr 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-i1p 6307  df-iplp 6308  df-imp 6309  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-mr 6467  df-ltr 6468
This theorem is referenced by:  axpre-mulext  6577
  Copyright terms: Public domain W3C validator