ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulextsr1 Structured version   GIF version

Theorem mulextsr1 6667
Description: Strong extensionality of multiplication of signed reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulextsr1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A)))

Proof of Theorem mulextsr1
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6615 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ))
32breq1d 3765 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R )))
4 breq1 3758 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~RA <R [⟨z, w⟩] ~R ))
5 breq2 3759 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ [⟨z, w⟩] ~R <R A))
64, 5orbi12d 706 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ) ↔ (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A)))
73, 6imbi12d 223 . 2 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )) ↔ ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A))))
8 oveq1 5462 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ))
98breq2d 3767 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R )))
10 breq2 3759 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A <R [⟨z, w⟩] ~RA <R B))
11 breq1 3758 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ([⟨z, w⟩] ~R <R AB <R A))
1210, 11orbi12d 706 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A) ↔ (A <R B B <R A)))
139, 12imbi12d 223 . 2 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R A)) ↔ ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R B B <R A))))
14 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (A ·R 𝐶))
15 oveq2 5463 . . . 4 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = (B ·R 𝐶))
1614, 15breq12d 3768 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → ((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶)))
1716imbi1d 220 . 2 ([⟨u, v⟩] ~R = 𝐶 → (((A ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R (B ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → (A <R B B <R A)) ↔ ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A))))
18 mulextsr1lem 6666 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v))) → ((x +P w)<P (y +P z) (z +P y)<P (w +P x))))
19 mulsrpr 6634 . . . . . 6 (((x P y P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R )
20193adant2 922 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R )
21 mulsrpr 6634 . . . . . 6 (((z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R )
22213adant1 921 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) = [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R )
2320, 22breq12d 3768 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ [⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ))
24 simp1l 927 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → x P)
25 simp3l 931 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → u P)
26 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((x P u P) → (x ·P u) P)
2724, 25, 26syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (x ·P u) P)
28 simp1r 928 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → y P)
29 simp3r 932 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → v P)
30 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((y P v P) → (y ·P v) P)
3128, 29, 30syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (y ·P v) P)
32 addclpr 6520 . . . . . 6 (((x ·P u) P (y ·P v) P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
3327, 31, 32syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) P)
34 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((x P v P) → (x ·P v) P)
3524, 29, 34syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (x ·P v) P)
36 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((y P u P) → (y ·P u) P)
3728, 25, 36syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (y ·P u) P)
38 addclpr 6520 . . . . . 6 (((x ·P v) P (y ·P u) P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
3935, 37, 38syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) P)
40 simp2l 929 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → z P)
41 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((z P u P) → (z ·P u) P)
4240, 25, 41syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (z ·P u) P)
43 simp2r 930 . . . . . . 7 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → w P)
44 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((w P v P) → (w ·P v) P)
4543, 29, 44syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (w ·P v) P)
46 addclpr 6520 . . . . . 6 (((z ·P u) P (w ·P v) P) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
4742, 45, 46syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
48 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((z P v P) → (z ·P v) P)
4940, 29, 48syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (z ·P v) P)
50 mulclpr 6551 . . . . . . 7 ((w P u P) → (w ·P u) P)
5143, 25, 50syl2anc 391 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (w ·P u) P)
52 addclpr 6520 . . . . . 6 (((z ·P v) P (w ·P u) P) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
54 ltsrprg 6635 . . . . 5 (((((x ·P u) +P (y ·P v)) P ((x ·P v) +P (y ·P u)) P) (((z ·P u) +P (w ·P v)) P ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)) → ([⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
5533, 39, 47, 53, 54syl22anc 1135 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨((x ·P u) +P (y ·P v)), ((x ·P v) +P (y ·P u))⟩] ~R <R [⟨((z ·P u) +P (w ·P v)), ((z ·P v) +P (w ·P u))⟩] ~R ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
5623, 55bitrd 177 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) ↔ (((x ·P u) +P (y ·P v)) +P ((z ·P v) +P (w ·P u)))<P (((x ·P v) +P (y ·P u)) +P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
57 ltsrprg 6635 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
58573adant3 923 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
59 ltsrprg 6635 . . . . . 6 (((z P w P) (x P y P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
6059ancoms 255 . . . . 5 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
61603adant3 923 . . . 4 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → ([⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ↔ (z +P y)<P (w +P x)))
6258, 61orbi12d 706 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R ) ↔ ((x +P w)<P (y +P z) (z +P y)<P (w +P x))))
6318, 56, 623imtr4d 192 . 2 (((x P y P) (z P w P) (u P v P)) → (([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) <R ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨u, v⟩] ~R ) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R [⟨z, w⟩] ~R <R [⟨x, y⟩] ~R )))
641, 7, 13, 17, 633ecoptocl 6131 1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R 𝐶) <R (B ·R 𝐶) → (A <R B B <R A)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277   ·P cmp 6278  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281   ·R cmr 6286   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-mr 6617  df-ltr 6618
This theorem is referenced by:  axpre-mulext  6732
  Copyright terms: Public domain W3C validator