ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltasrg Structured version   GIF version

Theorem ltasrg 6508
Description: Ordering property of addition. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltasrg ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))

Proof of Theorem ltasrg
Dummy variables x y z w v u 𝑠 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6465 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5431 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ))
3 oveq1 5431 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))
42, 3breq12d 3740 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
54bibi2d 221 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
6 breq1 3730 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~RA <R [⟨z, w⟩] ~R ))
7 oveq2 5432 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R A))
87breq1d 3737 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
96, 8bibi12d 224 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
10 breq2 3731 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A <R [⟨z, w⟩] ~RA <R B))
11 oveq2 5432 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R B))
1211breq2d 3739 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
1310, 12bibi12d 224 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B))))
14 simp2l 912 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → x P)
15 simp3r 915 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → w P)
16 addclpr 6378 . . . . . . 7 ((x P w P) → (x +P w) P)
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (x +P w) P)
18 simp2r 913 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → y P)
19 simp3l 914 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → z P)
20 addclpr 6378 . . . . . . 7 ((y P z P) → (y +P z) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (y +P z) P)
22 addclpr 6378 . . . . . . 7 ((v P u P) → (v +P u) P)
23223ad2ant1 907 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P u) P)
24 ltaprg 6441 . . . . . 6 (((x +P w) P (y +P z) P (v +P u) P) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
2517, 21, 23, 24syl3anc 1116 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
26 ltsrprg 6485 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
27263adant1 904 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
28 simp1l 910 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → v P)
29 addclpr 6378 . . . . . . . 8 ((v P x P) → (v +P x) P)
3028, 14, 29syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P x) P)
31 simp1r 911 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → u P)
32 addclpr 6378 . . . . . . . 8 ((u P y P) → (u +P y) P)
3331, 18, 32syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P y) P)
34 addclpr 6378 . . . . . . . 8 ((v P z P) → (v +P z) P)
3528, 19, 34syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P z) P)
36 addclpr 6378 . . . . . . . 8 ((u P w P) → (u +P w) P)
3731, 15, 36syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P w) P)
38 ltsrprg 6485 . . . . . . 7 ((((v +P x) P (u +P y) P) ((v +P z) P (u +P w) P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
3930, 33, 35, 37, 38syl22anc 1117 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
40 addcomprg 6403 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4140adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
42 addassprg 6404 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4342adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
44 addclpr 6378 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4544adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4628, 14, 31, 41, 43, 15, 45caov4d 5596 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P x) +P (u +P w)) = ((v +P u) +P (x +P w)))
4741, 33, 35caovcomd 5568 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P z) +P (u +P y)))
4828, 19, 31, 41, 43, 18, 45caov42d 5598 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P z) +P (u +P y)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
4947, 48eqtrd 2045 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
5046, 49breq12d 3740 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z)) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5139, 50bitrd 177 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5225, 27, 513bitr4d 209 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
53 addsrpr 6483 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
54533adant3 906 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
55 addsrpr 6483 . . . . . 6 (((v P u P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
56553adant2 905 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
5754, 56breq12d 3740 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
5852, 57bitr4d 180 . . 3 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )))
591, 5, 9, 13, 583ecoptocl 6094 . 2 ((𝐶 R A R B R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
60593coml 1092 1 ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  [cec 6003  Pcnp 6137   +P cpp 6139  <P cltp 6141   ~R cer 6142  Rcnr 6143   +R cplr 6147   <R cltr 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-po 3996  df-iso 3997  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-1o 5904  df-2o 5905  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152  df-lti 6153  df-plpq 6189  df-mpq 6190  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-plqqs 6194  df-mqqs 6195  df-1nqqs 6196  df-rq 6197  df-ltnqqs 6198  df-enq0 6265  df-nq0 6266  df-0nq0 6267  df-plq0 6268  df-mq0 6269  df-inp 6306  df-iplp 6308  df-iltp 6310  df-enr 6464  df-nr 6465  df-plr 6466  df-ltr 6468
This theorem is referenced by:  addgt0sr  6513  axpre-ltadd  6575
  Copyright terms: Public domain W3C validator