ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltasrg Structured version   GIF version

Theorem ltasrg 6698
Description: Ordering property of addition. (Contributed by NM, 10-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
ltasrg ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))

Proof of Theorem ltasrg
Dummy variables x y z w v u 𝑠 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6655 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 5462 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ))
3 oveq1 5462 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))
42, 3breq12d 3768 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
54bibi2d 221 . . 3 ([⟨v, u⟩] ~R = 𝐶 → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
6 breq1 3758 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~RA <R [⟨z, w⟩] ~R ))
7 oveq2 5463 . . . . 5 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) = (𝐶 +R A))
87breq1d 3765 . . . 4 ([⟨x, y⟩] ~R = A → ((𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )))
96, 8bibi12d 224 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ))))
10 breq2 3759 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (A <R [⟨z, w⟩] ~RA <R B))
11 oveq2 5463 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~R = B → (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) = (𝐶 +R B))
1211breq2d 3767 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
1310, 12bibi12d 224 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~R = B → ((A <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R [⟨z, w⟩] ~R )) ↔ (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B))))
14 simp2l 929 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → x P)
15 simp3r 932 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → w P)
16 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((x P w P) → (x +P w) P)
1714, 15, 16syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (x +P w) P)
18 simp2r 930 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → y P)
19 simp3l 931 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → z P)
20 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((y P z P) → (y +P z) P)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (y +P z) P)
22 addclpr 6520 . . . . . . 7 ((v P u P) → (v +P u) P)
23223ad2ant1 924 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P u) P)
24 ltaprg 6592 . . . . . 6 (((x +P w) P (y +P z) P (v +P u) P) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
2517, 21, 23, 24syl3anc 1134 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((x +P w)<P (y +P z) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
26 ltsrprg 6675 . . . . . 6 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
27263adant1 921 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ (x +P w)<P (y +P z)))
28 simp1l 927 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → v P)
29 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((v P x P) → (v +P x) P)
3028, 14, 29syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P x) P)
31 simp1r 928 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → u P)
32 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((u P y P) → (u +P y) P)
3331, 18, 32syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P y) P)
34 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((v P z P) → (v +P z) P)
3528, 19, 34syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (v +P z) P)
36 addclpr 6520 . . . . . . . 8 ((u P w P) → (u +P w) P)
3731, 15, 36syl2anc 391 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (u +P w) P)
38 ltsrprg 6675 . . . . . . 7 ((((v +P x) P (u +P y) P) ((v +P z) P (u +P w) P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
3930, 33, 35, 37, 38syl22anc 1135 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z))))
40 addcomprg 6554 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
4140adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) = (𝑠 +P 𝑟))
42 addassprg 6555 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
4342adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → ((𝑟 +P 𝑠) +P 𝑡) = (𝑟 +P (𝑠 +P 𝑡)))
44 addclpr 6520 . . . . . . . . 9 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4544adantl 262 . . . . . . . 8 ((((v P u P) (x P y P) (z P w P)) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4628, 14, 31, 41, 43, 15, 45caov4d 5627 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P x) +P (u +P w)) = ((v +P u) +P (x +P w)))
4741, 33, 35caovcomd 5599 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P z) +P (u +P y)))
4828, 19, 31, 41, 43, 18, 45caov42d 5629 . . . . . . . 8 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((v +P z) +P (u +P y)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
4947, 48eqtrd 2069 . . . . . . 7 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ((u +P y) +P (v +P z)) = ((v +P u) +P (y +P z)))
5046, 49breq12d 3768 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (((v +P x) +P (u +P w))<P ((u +P y) +P (v +P z)) ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5139, 50bitrd 177 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ↔ ((v +P u) +P (x +P w))<P ((v +P u) +P (y +P z))))
5225, 27, 513bitr4d 209 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
53 addsrpr 6673 . . . . . 6 (((v P u P) (x P y P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
54533adant3 923 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) = [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R )
55 addsrpr 6673 . . . . . 6 (((v P u P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
56553adant2 922 . . . . 5 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R )
5754, 56breq12d 3768 . . . 4 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → (([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R ) ↔ [⟨(v +P x), (u +P y)⟩] ~R <R [⟨(v +P z), (u +P w)⟩] ~R ))
5852, 57bitr4d 180 . . 3 (((v P u P) (x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R <R [⟨z, w⟩] ~R ↔ ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨x, y⟩] ~R ) <R ([⟨v, u⟩] ~R +R [⟨z, w⟩] ~R )))
591, 5, 9, 13, 583ecoptocl 6131 . 2 ((𝐶 R A R B R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
60593coml 1110 1 ((A R B R 𝐶 R) → (A <R B ↔ (𝐶 +R A) <R (𝐶 +R B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281   +R cplr 6285   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-ltr 6658
This theorem is referenced by:  addgt0sr  6703  axpre-ltadd  6770
  Copyright terms: Public domain W3C validator