ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leadd2 Structured version   GIF version

Theorem leadd2 7024
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
leadd2 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))

Proof of Theorem leadd2
StepHypRef Expression
1 leadd1 7023 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (A + 𝐶) ≤ (B + 𝐶)))
2 simp1 886 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℝ)
32recnd 6654 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℂ)
4 simp3 888 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℝ)
54recnd 6654 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℂ)
63, 5addcomd 6764 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) = (𝐶 + A))
7 simp2 887 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℝ)
87recnd 6654 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℂ)
98, 5addcomd 6764 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) = (𝐶 + B))
106, 9breq12d 3740 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶) ≤ (B + 𝐶) ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))
111, 10bitrd 177 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 867   wcel 1366   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  cr 6519   + caddc 6523  cle 6661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-addcom 6587  ax-addass 6589  ax-i2m1 6592  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-pre-ltadd 6603
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-rab 2284  df-v 2528  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-br 3728  df-opab 3782  df-xp 4266  df-cnv 4268  df-iota 4782  df-fv 4825  df-ov 5427  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-xr 6664  df-ltxr 6665  df-le 6666
This theorem is referenced by:  le2add  7037  ltleadd  7039  lesub2  7050  addge01  7065  leadd2i  7094  leadd2d  7129
  Copyright terms: Public domain W3C validator