ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leadd2 Structured version   GIF version

Theorem leadd2 7201
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 26-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
leadd2 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))

Proof of Theorem leadd2
StepHypRef Expression
1 leadd1 7200 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (A + 𝐶) ≤ (B + 𝐶)))
2 simp1 903 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℝ)
32recnd 6831 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℂ)
4 simp3 905 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℝ)
54recnd 6831 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℂ)
63, 5addcomd 6941 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (A + 𝐶) = (𝐶 + A))
7 simp2 904 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℝ)
87recnd 6831 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℂ)
98, 5addcomd 6941 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (B + 𝐶) = (𝐶 + B))
106, 9breq12d 3768 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + 𝐶) ≤ (B + 𝐶) ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))
111, 10bitrd 177 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (AB ↔ (𝐶 + A) ≤ (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6690   + caddc 6694  cle 6838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843
This theorem is referenced by:  le2add  7214  ltleadd  7216  lesub2  7227  addge01  7242  leadd2i  7271  leadd2d  7306  expubnd  8945  bernneq  9002
  Copyright terms: Public domain W3C validator