ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltleadd Structured version   GIF version

Theorem ltleadd 7196
Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
ltleadd (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A < 𝐶 B𝐷) → (A + B) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem ltleadd
StepHypRef Expression
1 ltadd1 7179 . . . . . 6 ((A 𝐶 B ℝ) → (A < 𝐶 ↔ (A + B) < (𝐶 + B)))
213com23 1109 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < 𝐶 ↔ (A + B) < (𝐶 + B)))
323expa 1103 . . . 4 (((A B ℝ) 𝐶 ℝ) → (A < 𝐶 ↔ (A + B) < (𝐶 + B)))
43adantrr 448 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A < 𝐶 ↔ (A + B) < (𝐶 + B)))
5 leadd2 7181 . . . . . 6 ((B 𝐷 𝐶 ℝ) → (B𝐷 ↔ (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
653com23 1109 . . . . 5 ((B 𝐶 𝐷 ℝ) → (B𝐷 ↔ (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
763expb 1104 . . . 4 ((B (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B𝐷 ↔ (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
87adantll 445 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (B𝐷 ↔ (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
94, 8anbi12d 442 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A < 𝐶 B𝐷) ↔ ((A + B) < (𝐶 + B) (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷))))
10 readdcl 6765 . . . 4 ((A B ℝ) → (A + B) ℝ)
1110adantr 261 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A + B) ℝ)
12 readdcl 6765 . . . . 5 ((𝐶 B ℝ) → (𝐶 + B) ℝ)
1312ancoms 255 . . . 4 ((B 𝐶 ℝ) → (𝐶 + B) ℝ)
1413ad2ant2lr 479 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 + B) ℝ)
15 readdcl 6765 . . . 4 ((𝐶 𝐷 ℝ) → (𝐶 + 𝐷) ℝ)
1615adantl 262 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶 + 𝐷) ℝ)
17 ltletr 6864 . . 3 (((A + B) (𝐶 + B) (𝐶 + 𝐷) ℝ) → (((A + B) < (𝐶 + B) (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (A + B) < (𝐶 + 𝐷)))
1811, 14, 16, 17syl3anc 1134 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (((A + B) < (𝐶 + B) (𝐶 + B) ≤ (𝐶 + 𝐷)) → (A + B) < (𝐶 + 𝐷)))
199, 18sylbid 139 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A < 𝐶 B𝐷) → (A + B) < (𝐶 + 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670   + caddc 6674   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by:  leltadd  7197  addgtge0  7200  ltleaddd  7311
  Copyright terms: Public domain W3C validator