Theorem bernneq 9022

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (A · 𝑗) = (A · 0))
2	1	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 0)))
3		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑0))
4	2, 3	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0)))
5	4	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))))
6		oveq2 5463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (A · 𝑗) = (A · 𝑘))
7	6	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 𝑘)))
8		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑𝑘))
9	7, 8	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))))
11		oveq2 5463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A · 𝑗) = (A · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (A · 𝑗) = (A · 𝑁))
17	16	oveq2d 5471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 𝑁)))
18		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
21		recn 6812	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
22		mul01 7182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 0) = 0)
23	22	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 + (A · 0)) = (1 + 0))
24		1p0e1 7810	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 0) = 1
25	23, 24	syl6eq 2085	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 + (A · 0)) = 1)
26		1le1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
27		ax-1cn 6776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		addcl 6804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (1 + A) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan 400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 + A) ∈ ℂ)
30		exp0 8913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + A) ∈ ℂ → ((1 + A)↑0) = 1)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℂ → ((1 + A)↑0) = 1)
32	26, 31	syl5breqr 3791	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → 1 ≤ ((1 + A)↑0))
33	25, 32	eqbrtrd 3775	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
35	34	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
36		1re 6824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		nn0re 7966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
38		remulcl 6807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (A · 𝑘) ∈ ℝ)
39	37, 38	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A · 𝑘) ∈ ℝ)
40		readdcl 6805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (A · 𝑘) ∈ ℝ) → (1 + (A · 𝑘)) ∈ ℝ)
41	36, 39, 40	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (A · 𝑘)) ∈ ℝ)
42		simpl 102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → A ∈ ℝ)
43		readdcl 6805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 + (A · 𝑘)) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ∈ ℝ)
44	41, 42, 43	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ∈ ℝ)
45	44	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ∈ ℝ)
46		readdcl 6805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (1 + A) ∈ ℝ)
47	36, 46	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 + A) ∈ ℝ)
48	47	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + A) ∈ ℝ)
49	41, 48	remulcld 6853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ∈ ℝ)
51		reexpcl 8926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 + A) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + A)↑𝑘) ∈ ℝ)
52	47, 51	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + A)↑𝑘) ∈ ℝ)
53	52, 48	remulcld 6853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)) ∈ ℝ)
54	53	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)) ∈ ℝ)
55		remulcl 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (A · A) ∈ ℝ)
56	55	anidms 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ ℝ → (A · A) ∈ ℝ)
57		msqge0 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ ℝ → 0 ≤ (A · A))
58	56, 57	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ∈ ℝ → ((A · A) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (A · A)))
59		nn0ge0 7983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
60	37, 59	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
61		mulge0 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((A · A) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (A · A)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((A · A) · 𝑘))
62	58, 60, 61	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((A · A) · 𝑘))
63	21	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
64		nn0cn 7967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
65	64	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
66	63, 63, 65	mul32d 6963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A · A) · 𝑘) = ((A · 𝑘) · A))
67	62, 66	breqtrd 3779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((A · 𝑘) · A))
68		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → A ∈ ℝ)
69	38, 68	remulcld 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((A · 𝑘) · A) ∈ ℝ)
70	37, 69	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((A · 𝑘) · A) ∈ ℝ)
71	44, 70	addge01d 7319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ ((A · 𝑘) · A) ↔ ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A))))
72	67, 71	mpbid 135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)))
73		mulcl 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (A · 𝑘) ∈ ℂ)
74		addcl 6804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (A · 𝑘) ∈ ℂ) → (1 + (A · 𝑘)) ∈ ℂ)
75	27, 73, 74	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (A · 𝑘)) ∈ ℂ)
76		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → A ∈ ℂ)
77	73, 76	mulcld 6845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((A · 𝑘) · A) ∈ ℂ)
78	75, 76, 77	addassd 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
79		muladd11 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((A · 𝑘) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
80	73, 76, 79	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
81	78, 80	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
82	21, 64, 81	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
83	72, 82	breqtrd 3779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
84	83	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
85	41	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · 𝑘)) ∈ ℝ)
86	52	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + A)↑𝑘) ∈ ℝ)
87	48	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + A) ∈ ℝ)
88		neg1rr 7801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℝ
89		leadd2 7221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-1 ≤ A ↔ (1 + -1) ≤ (1 + A)))
90	88, 36, 89	mp3an13 1222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ ℝ → (-1 ≤ A ↔ (1 + -1) ≤ (1 + A)))
91		1pneg1e0 7806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + -1) = 0
92	91	breq1i 3762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 + -1) ≤ (1 + A) ↔ 0 ≤ (1 + A))
93	90, 92	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ ℝ → (-1 ≤ A ↔ 0 ≤ (1 + A)))
94	93	biimpa 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → 0 ≤ (1 + A))
95	94	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + A))
96		simprr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 7686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ≤ (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
99		adddi 6811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + (A · 1)))
100	27, 99	mp3an3 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + (A · 1)))
101		mulid1 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)
102	101	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (A · 1) = A)
103	102	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((A · 𝑘) + (A · 1)) = ((A · 𝑘) + A))
104	100, 103	eqtrd 2069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + A))
105	104	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
106		addass 6809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (A · 𝑘) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
107	27, 106	mp3an1 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A · 𝑘) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
108	73, 76, 107	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
109	105, 108	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
110	21, 64, 109	syl2an 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
111	110	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
112	27, 21, 28	sylancr 393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℝ → (1 + A) ∈ ℂ)
113		expp1 8916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + A) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
114	112, 113	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
115	114	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
116	98, 111, 115	3brtr4d 3785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (-1 ≤ A ∧ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))
117	116	exp43 354	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ A → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))))
118	117	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (A ∈ ℝ → (-1 ≤ A → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))))
119	118	impd 242	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
120	119	a2d 23	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘)) → ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 8128	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℝ ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁)))
122	121	expd 245	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (A ∈ ℝ → (-1 ≤ A → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
123	122	com12 27	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1 ≤ A → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
124	123	3imp 1097	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   ≤ cle 6858  -cneg 6980  ℕ₀cn0 7957  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  bernneq2  9023