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Theorem bernneq 9022
 Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq ((A 𝑁 0 -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (A · 𝑗) = (A · 0))
21oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 0)))
3 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑0))
42, 3breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0)))
54imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))))
6 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (A · 𝑗) = (A · 𝑘))
76oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 𝑘)))
8 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑𝑘))
97, 8breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘)))
109imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))))
11 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A · 𝑗) = (A · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (A · 𝑗) = (A · 𝑁))
1716oveq2d 5471 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (1 + (A · 𝑗)) = (1 + (A · 𝑁)))
18 oveq2 5463 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((1 + A)↑𝑗) = ((1 + A)↑𝑁))
1917, 18breq12d 3768 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗) ↔ (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁)))
2019imbi2d 219 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑗)) ≤ ((1 + A)↑𝑗)) ↔ ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
21 recn 6812 . . . . . . 7 (A ℝ → A ℂ)
22 mul01 7182 . . . . . . . . . 10 (A ℂ → (A · 0) = 0)
2322oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 (A ℂ → (1 + (A · 0)) = (1 + 0))
24 1p0e1 7810 . . . . . . . . 9 (1 + 0) = 1
2523, 24syl6eq 2085 . . . . . . . 8 (A ℂ → (1 + (A · 0)) = 1)
26 1le1 7356 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
27 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . 11 1
28 addcl 6804 . . . . . . . . . . 11 ((1 A ℂ) → (1 + A) ℂ)
2927, 28mpan 400 . . . . . . . . . 10 (A ℂ → (1 + A) ℂ)
30 exp0 8913 . . . . . . . . . 10 ((1 + A) ℂ → ((1 + A)↑0) = 1)
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 (A ℂ → ((1 + A)↑0) = 1)
3226, 31syl5breqr 3791 . . . . . . . 8 (A ℂ → 1 ≤ ((1 + A)↑0))
3325, 32eqbrtrd 3775 . . . . . . 7 (A ℂ → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
3421, 33syl 14 . . . . . 6 (A ℝ → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
3534adantr 261 . . . . 5 ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 0)) ≤ ((1 + A)↑0))
36 1re 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 1
37 nn0re 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 0𝑘 ℝ)
38 remulcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 ℝ) → (A · 𝑘) ℝ)
3937, 38sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 0) → (A · 𝑘) ℝ)
40 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 (A · 𝑘) ℝ) → (1 + (A · 𝑘)) ℝ)
4136, 39, 40sylancr 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → (1 + (A · 𝑘)) ℝ)
42 simpl 102 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → A ℝ)
43 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 + (A · 𝑘)) A ℝ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ℝ)
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ℝ)
4544adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ℝ)
46 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 A ℝ) → (1 + A) ℝ)
4736, 46mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14 (A ℝ → (1 + A) ℝ)
4847adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → (1 + A) ℝ)
4941, 48remulcld 6853 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ℝ)
5049adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ℝ)
51 reexpcl 8926 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 + A) 𝑘 0) → ((1 + A)↑𝑘) ℝ)
5247, 51sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → ((1 + A)↑𝑘) ℝ)
5352, 48remulcld 6853 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)) ℝ)
5453adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)) ℝ)
55 remulcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((A A ℝ) → (A · A) ℝ)
5655anidms 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (A ℝ → (A · A) ℝ)
57 msqge0 7400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (A ℝ → 0 ≤ (A · A))
5856, 57jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (A ℝ → ((A · A) 0 ≤ (A · A)))
59 nn0ge0 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 0 → 0 ≤ 𝑘)
6037, 59jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 0 → (𝑘 0 ≤ 𝑘))
61 mulge0 7403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((A · A) 0 ≤ (A · A)) (𝑘 0 ≤ 𝑘)) → 0 ≤ ((A · A) · 𝑘))
6258, 60, 61syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 0) → 0 ≤ ((A · A) · 𝑘))
6321adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 0) → A ℂ)
64 nn0cn 7967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 0𝑘 ℂ)
6564adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 0) → 𝑘 ℂ)
6663, 63, 65mul32d 6963 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 0) → ((A · A) · 𝑘) = ((A · 𝑘) · A))
6762, 66breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 0) → 0 ≤ ((A · 𝑘) · A))
68 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A 𝑘 ℝ) → A ℝ)
6938, 68remulcld 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 ℝ) → ((A · 𝑘) · A) ℝ)
7037, 69sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 0) → ((A · 𝑘) · A) ℝ)
7144, 70addge01d 7319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 0) → (0 ≤ ((A · 𝑘) · A) ↔ ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A))))
7267, 71mpbid 135 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)))
73 mulcl 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((A 𝑘 ℂ) → (A · 𝑘) ℂ)
74 addcl 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 (A · 𝑘) ℂ) → (1 + (A · 𝑘)) ℂ)
7527, 73, 74sylancr 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 ℂ) → (1 + (A · 𝑘)) ℂ)
76 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 ℂ) → A ℂ)
7773, 76mulcld 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 ℂ) → ((A · 𝑘) · A) ℂ)
7875, 76, 77addassd 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 ℂ) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
79 muladd11 6943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((A · 𝑘) A ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
8073, 76, 79syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) = ((1 + (A · 𝑘)) + (A + ((A · 𝑘) · A))))
8178, 80eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 ℂ) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
8221, 64, 81syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 0) → (((1 + (A · 𝑘)) + A) + ((A · 𝑘) · A)) = ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
8372, 82breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 0) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
8483adantr 261 . . . . . . . . . . 11 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)))
8541adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · 𝑘)) ℝ)
8652adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + A)↑𝑘) ℝ)
8748adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + A) ℝ)
88 neg1rr 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1
89 leadd2 7221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 A 1 ℝ) → (-1 ≤ A ↔ (1 + -1) ≤ (1 + A)))
9088, 36, 89mp3an13 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (A ℝ → (-1 ≤ A ↔ (1 + -1) ≤ (1 + A)))
91 1pneg1e0 7806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
9291breq1i 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 + -1) ≤ (1 + A) ↔ 0 ≤ (1 + A))
9390, 92syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . 14 (A ℝ → (-1 ≤ A ↔ 0 ≤ (1 + A)))
9493biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((A -1 ≤ A) → 0 ≤ (1 + A))
9594ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → 0 ≤ (1 + A))
96 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 7686 . . . . . . . . . . 11 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) · (1 + A)) ≤ (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
9845, 50, 54, 84, 97letrd 6935 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) ≤ (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
99 adddi 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 1 ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + (A · 1)))
10027, 99mp3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + (A · 1)))
101 mulid1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (A ℂ → (A · 1) = A)
102101adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A 𝑘 ℂ) → (A · 1) = A)
103102oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A 𝑘 ℂ) → ((A · 𝑘) + (A · 1)) = ((A · 𝑘) + A))
104100, 103eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A 𝑘 ℂ) → (A · (𝑘 + 1)) = ((A · 𝑘) + A))
105104oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 ℂ) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
106 addass 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 (A · 𝑘) A ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
10727, 106mp3an1 1218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((A · 𝑘) A ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
10873, 76, 107syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((A 𝑘 ℂ) → ((1 + (A · 𝑘)) + A) = (1 + ((A · 𝑘) + A)))
109105, 108eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 ℂ) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
11021, 64, 109syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑘 0) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
111110adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) = ((1 + (A · 𝑘)) + A))
11227, 21, 28sylancr 393 . . . . . . . . . . . 12 (A ℝ → (1 + A) ℂ)
113 expp1 8916 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + A) 𝑘 0) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
114112, 113sylan 267 . . . . . . . . . . 11 ((A 𝑘 0) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
115114adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → ((1 + A)↑(𝑘 + 1)) = (((1 + A)↑𝑘) · (1 + A)))
11698, 111, 1153brtr4d 3785 . . . . . . . . 9 (((A 𝑘 0) (-1 ≤ A (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘))) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))
117116exp43 354 . . . . . . . 8 (A ℝ → (𝑘 0 → (-1 ≤ A → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))))
118117com12 27 . . . . . . 7 (𝑘 0 → (A ℝ → (-1 ≤ A → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1))))))
119118impd 242 . . . . . 6 (𝑘 0 → ((A -1 ≤ A) → ((1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
120119a2d 23 . . . . 5 (𝑘 0 → (((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑘)) ≤ ((1 + A)↑𝑘)) → ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · (𝑘 + 1))) ≤ ((1 + A)↑(𝑘 + 1)))))
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 8128 . . . 4 (𝑁 0 → ((A -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁)))
122121expd 245 . . 3 (𝑁 0 → (A ℝ → (-1 ≤ A → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
123122com12 27 . 2 (A ℝ → (𝑁 0 → (-1 ≤ A → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))))
1241233imp 1097 1 ((A 𝑁 0 -1 ≤ A) → (1 + (A · 𝑁)) ≤ ((1 + A)↑𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   ≤ cle 6858  -cneg 6980  ℕ0cn0 7957  ↑cexp 8908 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909 This theorem is referenced by:  bernneq2  9023
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