ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2 Structured version   GIF version

Theorem ltadd2 7015
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltadd2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Proof of Theorem ltadd2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axltadd 6689 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
2 ax-rnegex 6596 . . . 4 (𝐶 ℝ → x ℝ (𝐶 + x) = 0)
323ad2ant3 909 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → x ℝ (𝐶 + x) = 0)
4 simpl3 891 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → 𝐶 ℝ)
5 simpl1 889 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → A ℝ)
64, 5readdcld 6655 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + A) ℝ)
7 simpl2 890 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → B ℝ)
84, 7readdcld 6655 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + B) ℝ)
9 simprl 468 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → x ℝ)
10 axltadd 6689 . . . . . 6 (((𝐶 + A) (𝐶 + B) x ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
116, 8, 9, 10syl3anc 1116 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
129recnd 6654 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → x ℂ)
134recnd 6654 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → 𝐶 ℂ)
145recnd 6654 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → A ℂ)
1512, 13, 14addassd 6650 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = (x + (𝐶 + A)))
167recnd 6654 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → B ℂ)
1712, 13, 16addassd 6650 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = (x + (𝐶 + B)))
1815, 17breq12d 3740 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B) ↔ (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
1911, 18sylibrd 158 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → ((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B)))
20 simprr 469 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + x) = 0)
21 addcom 6750 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 x ℂ) → (𝐶 + x) = (x + 𝐶))
2221eqeq1d 2021 . . . . . . . . 9 ((𝐶 x ℂ) → ((𝐶 + x) = 0 ↔ (x + 𝐶) = 0))
2313, 12, 22syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + x) = 0 ↔ (x + 𝐶) = 0))
2420, 23mpbid 135 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (x + 𝐶) = 0)
2524oveq1d 5439 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = (0 + A))
2614addid2d 6763 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (0 + A) = A)
2725, 26eqtrd 2045 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = A)
2824oveq1d 5439 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = (0 + B))
2916addid2d 6763 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (0 + B) = B)
3028, 29eqtrd 2045 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = B)
3127, 30breq12d 3740 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B) ↔ A < B))
3219, 31sylibd 138 . . 3 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → A < B))
333, 32rexlimddv 2406 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → A < B))
341, 33impbid 120 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  wrex 2276   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  cc 6518  cr 6519  0cc0 6520   + caddc 6523   < clt 6660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-cnex 6578  ax-resscn 6579  ax-1cn 6580  ax-icn 6582  ax-addcl 6583  ax-addrcl 6584  ax-mulcl 6585  ax-addcom 6587  ax-addass 6589  ax-i2m1 6592  ax-0id 6595  ax-rnegex 6596  ax-pre-ltadd 6603
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-nel 2180  df-ral 2280  df-rex 2281  df-rab 2284  df-v 2528  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-br 3728  df-opab 3782  df-xp 4266  df-iota 4782  df-fv 4825  df-ov 5427  df-pnf 6662  df-mnf 6663  df-ltxr 6665
This theorem is referenced by:  ltadd2i  7016  ltadd2d  7017  ltadd1  7022  ltaddpos  7045  ltsub2  7052  ltaddsublt  7158  avglt1  7741
  Copyright terms: Public domain W3C validator