ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2 Structured version   GIF version

Theorem ltadd2 7172
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltadd2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Proof of Theorem ltadd2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axltadd 6846 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
2 ax-rnegex 6752 . . . 4 (𝐶 ℝ → x ℝ (𝐶 + x) = 0)
323ad2ant3 926 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → x ℝ (𝐶 + x) = 0)
4 simpl3 908 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → 𝐶 ℝ)
5 simpl1 906 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → A ℝ)
64, 5readdcld 6812 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + A) ℝ)
7 simpl2 907 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → B ℝ)
84, 7readdcld 6812 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + B) ℝ)
9 simprl 483 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → x ℝ)
10 axltadd 6846 . . . . . 6 (((𝐶 + A) (𝐶 + B) x ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
116, 8, 9, 10syl3anc 1134 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
129recnd 6811 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → x ℂ)
134recnd 6811 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → 𝐶 ℂ)
145recnd 6811 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → A ℂ)
1512, 13, 14addassd 6807 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = (x + (𝐶 + A)))
167recnd 6811 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → B ℂ)
1712, 13, 16addassd 6807 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = (x + (𝐶 + B)))
1815, 17breq12d 3768 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B) ↔ (x + (𝐶 + A)) < (x + (𝐶 + B))))
1911, 18sylibrd 158 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → ((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B)))
20 simprr 484 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (𝐶 + x) = 0)
21 addcom 6907 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 x ℂ) → (𝐶 + x) = (x + 𝐶))
2221eqeq1d 2045 . . . . . . . . 9 ((𝐶 x ℂ) → ((𝐶 + x) = 0 ↔ (x + 𝐶) = 0))
2313, 12, 22syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + x) = 0 ↔ (x + 𝐶) = 0))
2420, 23mpbid 135 . . . . . . 7 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (x + 𝐶) = 0)
2524oveq1d 5470 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = (0 + A))
2614addid2d 6920 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (0 + A) = A)
2725, 26eqtrd 2069 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + A) = A)
2824oveq1d 5470 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = (0 + B))
2916addid2d 6920 . . . . . 6 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (0 + B) = B)
3028, 29eqtrd 2069 . . . . 5 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((x + 𝐶) + B) = B)
3127, 30breq12d 3768 . . . 4 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → (((x + 𝐶) + A) < ((x + 𝐶) + B) ↔ A < B))
3219, 31sylibd 138 . . 3 (((A B 𝐶 ℝ) (x (𝐶 + x) = 0)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → A < B))
333, 32rexlimddv 2431 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) → A < B))
341, 33impbid 120 1 ((A B 𝐶 ℝ) → (A < B ↔ (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671   + caddc 6674   < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by:  ltadd2i  7173  ltadd2d  7174  ltadd1  7179  ltaddpos  7202  ltsub2  7209  ltaddsublt  7315  avglt1  7900
  Copyright terms: Public domain W3C validator