Theorem axltadd 6886

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. (This restates ax-pre-ltadd 6799 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axltadd	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Proof of Theorem axltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-ltadd 6799	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A <ℝ B → (𝐶 + A) <ℝ (𝐶 + B)))
2		ltxrlt 6882	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A < B ↔ A <ℝ B))
3	2	3adant3 923	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A < B ↔ A <ℝ B))
4		readdcl 6805	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (𝐶 + A) ∈ ℝ)
5		readdcl 6805	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝐶 + B) ∈ ℝ)
6		ltxrlt 6882	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + A) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + B) ∈ ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) ↔ (𝐶 + A) <ℝ (𝐶 + B)))
7	4, 5, 6	syl2an 273	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ)) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) ↔ (𝐶 + A) <ℝ (𝐶 + B)))
8	7	3impdi 1189	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) ↔ (𝐶 + A) <ℝ (𝐶 + B)))
9	8	3coml 1110	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + A) < (𝐶 + B) ↔ (𝐶 + A) <ℝ (𝐶 + B)))
10	1, 3, 9	3imtr4d 192	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A < B → (𝐶 + A) < (𝐶 + B)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710   + caddc 6714   <_ℝ cltrr 6715   < clt 6857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-addrcl 6780  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862

This theorem is referenced by:  ltadd2  7212  nnge1  7718