Theorem ltaddsublt 7315

Description: Addition and subtraction on one side of 'less than'. (Contributed by AV, 24-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddsublt	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B < 𝐶 ↔ ((A + B) − 𝐶) < A))

Proof of Theorem ltaddsublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2 7172	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (B < 𝐶 ↔ (A + B) < (A + 𝐶)))
2	1	3comr 1111	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B < 𝐶 ↔ (A + B) < (A + 𝐶)))
3		readdcl 6765	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 923	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)
5		simp3 905	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		simp1 903	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → A ∈ ℝ)
7	4, 5, 6	ltsubaddd 7287	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((A + B) − 𝐶) < A ↔ (A + B) < (A + 𝐶)))
8	2, 7	bitr4d 180	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (B < 𝐶 ↔ ((A + B) − 𝐶) < A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6670   + caddc 6674   < clt 6817   − cmin 6939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942

This theorem is referenced by: (None)