ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjap Structured version   GIF version

Theorem cjap 9094
Description: Complex conjugate and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cjap ((A B ℂ) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B))

Proof of Theorem cjap
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 6781 . . 3 (A ℂ → x y A = (x + (i · y)))
21adantr 261 . 2 ((A B ℂ) → x y A = (x + (i · y)))
3 cnre 6781 . . . . . 6 (B ℂ → z w B = (z + (i · w)))
43ad3antlr 462 . . . . 5 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → z w B = (z + (i · w)))
5 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → y ℝ)
65ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → y ℝ)
76recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → y ℂ)
8 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → w ℝ)
98recnd 6811 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → w ℂ)
10 apneg 7355 . . . . . . . . . 10 ((y w ℂ) → (y # w ↔ -y # -w))
117, 9, 10syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (y # w ↔ -y # -w))
1211orbi2d 703 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x # z y # w) ↔ (x # z -y # -w)))
13 simpllr 486 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → A = (x + (i · y)))
14 simpr 103 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → B = (z + (i · w)))
1513, 14breq12d 3768 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ (x + (i · y)) # (z + (i · w))))
16 simplrl 487 . . . . . . . . . . 11 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → x ℝ)
1716ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x ℝ)
18 simplrl 487 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → z ℝ)
19 apreim 7347 . . . . . . . . . 10 (((x y ℝ) (z w ℝ)) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
2017, 6, 18, 8, 19syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x + (i · y)) # (z + (i · w)) ↔ (x # z y # w)))
2115, 20bitrd 177 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (A # B ↔ (x # z y # w)))
2213fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘A) = (∗‘(x + (i · y))))
23 cjreim 9091 . . . . . . . . . . . 12 ((x y ℝ) → (∗‘(x + (i · y))) = (x − (i · y)))
2417, 6, 23syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘(x + (i · y))) = (x − (i · y)))
2522, 24eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘A) = (x − (i · y)))
2614fveq2d 5125 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘B) = (∗‘(z + (i · w))))
27 cjreim 9091 . . . . . . . . . . . 12 ((z w ℝ) → (∗‘(z + (i · w))) = (z − (i · w)))
2818, 8, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘(z + (i · w))) = (z − (i · w)))
2926, 28eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (∗‘B) = (z − (i · w)))
3025, 29breq12d 3768 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ (x − (i · y)) # (z − (i · w))))
3117recnd 6811 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → x ℂ)
32 ax-icn 6738 . . . . . . . . . . . 12 i
3332a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → i ℂ)
34 submul2 7152 . . . . . . . . . . 11 ((x i y ℂ) → (x − (i · y)) = (x + (i · -y)))
3531, 33, 7, 34syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (x − (i · y)) = (x + (i · -y)))
3618recnd 6811 . . . . . . . . . . 11 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → z ℂ)
37 submul2 7152 . . . . . . . . . . 11 ((z i w ℂ) → (z − (i · w)) = (z + (i · -w)))
3836, 33, 9, 37syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → (z − (i · w)) = (z + (i · -w)))
3935, 38breq12d 3768 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x − (i · y)) # (z − (i · w)) ↔ (x + (i · -y)) # (z + (i · -w))))
406renegcld 7134 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → -y ℝ)
418renegcld 7134 . . . . . . . . . 10 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → -w ℝ)
42 apreim 7347 . . . . . . . . . 10 (((x -y ℝ) (z -w ℝ)) → ((x + (i · -y)) # (z + (i · -w)) ↔ (x # z -y # -w)))
4317, 40, 18, 41, 42syl22anc 1135 . . . . . . . . 9 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((x + (i · -y)) # (z + (i · -w)) ↔ (x # z -y # -w)))
4430, 39, 433bitrd 203 . . . . . . . 8 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ (x # z -y # -w)))
4512, 21, 443bitr4rd 210 . . . . . . 7 ((((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) B = (z + (i · w))) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B))
4645ex 108 . . . . . 6 (((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) (z w ℝ)) → (B = (z + (i · w)) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B)))
4746rexlimdvva 2434 . . . . 5 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → (z w B = (z + (i · w)) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B)))
484, 47mpd 13 . . . 4 ((((A B ℂ) (x y ℝ)) A = (x + (i · y))) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B))
4948ex 108 . . 3 (((A B ℂ) (x y ℝ)) → (A = (x + (i · y)) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B)))
5049rexlimdvva 2434 . 2 ((A B ℂ) → (x y A = (x + (i · y)) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B)))
512, 50mpd 13 1 ((A B ℂ) → ((∗‘A) # (∗‘B) ↔ A # B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940   # cap 7325  ccj 9027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032
This theorem is referenced by:  cjap0  9095
  Copyright terms: Public domain W3C validator