ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  submul2 Structured version   GIF version

Theorem submul2 6996
Description: Convert a subtraction to addition using multiplication by a negative. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
submul2 ((A B 𝐶 ℂ) → (A − (B · 𝐶)) = (A + (B · -𝐶)))

Proof of Theorem submul2
StepHypRef Expression
1 mulneg2 6993 . . . . 5 ((B 𝐶 ℂ) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
21adantl 262 . . . 4 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (B · -𝐶) = -(B · 𝐶))
32oveq2d 5441 . . 3 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (A + (B · -𝐶)) = (A + -(B · 𝐶)))
4 mulcl 6610 . . . 4 ((B 𝐶 ℂ) → (B · 𝐶) ℂ)
5 negsub 6859 . . . 4 ((A (B · 𝐶) ℂ) → (A + -(B · 𝐶)) = (A − (B · 𝐶)))
64, 5sylan2 270 . . 3 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (A + -(B · 𝐶)) = (A − (B · 𝐶)))
73, 6eqtr2d 2047 . 2 ((A (B 𝐶 ℂ)) → (A − (B · 𝐶)) = (A + (B · -𝐶)))
873impb 1081 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A − (B · 𝐶)) = (A + (B · -𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 867   = wceq 1224   wcel 1367  (class class class)co 5425  cc 6519   + caddc 6524   · cmul 6526  cmin 6783  -cneg 6784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-sep 3839  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-setind 4193  ax-resscn 6580  ax-1cn 6581  ax-icn 6583  ax-addcl 6584  ax-addrcl 6585  ax-mulcl 6586  ax-addcom 6588  ax-mulcom 6589  ax-addass 6590  ax-distr 6592  ax-i2m1 6593  ax-0id 6596  ax-rnegex 6597  ax-cnre 6599
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-br 3729  df-opab 3783  df-id 3994  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fv 4826  df-riota 5382  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-sub 6785  df-neg 6786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator